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| Aufgabe | Man gebe eine integrierbare Funktion f und ein Intervall [a,b] an, so dass der Mittelwertsatz nicht erfüllt ist, also dass es kein [mm] \varepsilon \in [/mm] ]a,b[ mit
[mm] f(\varepsilon)=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
gibt. |
Juten Tach!
Also, ich kann mir das nicht so recht vorstellen. Die Voraussetzung damit eine Funktion integrierbar ist, ist dass sie stückweise stetig ist, oder?
Und der Mittelwertsatz gilt für eine stetige Funktion...
Das steht für mich im Widerspruch zur Aufgabe...
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen :)
Gruß Rainer
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> Man gebe eine integrierbare Funktion f und ein Intervall
> [a,b] an, so dass der Mittelwertsatz nicht erfüllt ist,
> also dass es kein [mm]\varepsilon \in[/mm] ]a,b[ mit
>
> [mm]f(\varepsilon)=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> gibt.
> Juten Tach!
>
> Also, ich kann mir das nicht so recht vorstellen. Die
> Voraussetzung damit eine Funktion integrierbar ist, ist
> dass sie stückweise stetig ist, oder?
Jedenfalls genügt diese Voraussetzung für Integrierbarkeit.
> Und der Mittelwertsatz gilt für eine stetige Funktion...
Nein. Man hätte nur einen Widerspruch, wenn verlangt würde, eine stetige Funktion (statt nur eine integrierbare) anzugeben, für die der Mittelwertsatz der Integralrechnung nicht gilt. - Dies wäre dann in der Tat gar nicht möglich...
> Das steht für mich im Widerspruch zur Aufgabe...
Du musst einfach schauen, dass Du eine integrierbare aber nicht stetige (also etwa eine bloss stückweise stetige) Funktion findest, die den Mittelwert [mm] $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\; [/mm] dx$ im Intervall $[a;b]$ nicht annimmt.
Betrachte etwa
[mm]f(x)=\begin{cases}0 & \text{falls } x \leq 0\\
1 &\text{sonst}\end{cases}[/mm]
und das Integrationsintervall $[a;b] := [-1;+1]$.
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