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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 31.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | a) Sei a=0, b=4 und [mm] f(x)=\wurzel{x}. [/mm] Finden Sie ein [mm] \partial [/mm] ]a,b[, so dass [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}={f(\partial)^'} [/mm] ist. [mm] (wobei\partial=gleich [/mm] xi oder ksi sein soll)
b) Zeigen Sie mit HIlfe des Mittelwertsatzes: [mm] e^x>1+x [/mm] für alle [mm] x\varepsilon\IR\{0} [/mm] |
Schönen guten Abend,
wieder mal ein par kleine Fragen zu meiner Lösung.
Vorab schon mal vielen Dank für eure Unterstüzung und Hilfe.
also zu
a)
also [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}={f(\partial)^'}
[/mm]
[mm] \bruch{f(2)-f(0)}{2-0}=1,41
[/mm]
[mm] {f(\partial)}=2\wurzel{(\partial)}
[/mm]
[mm] {f(\partial)}=2(\partial)^\bruch{-1}{2}
[/mm]
[mm] 1,41=2(\partial)^\bruch{-1}{2} |*(\partial)^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 1,41*(\partial)^\bruch{1}{2}=1,41 |*(..)^2
[/mm]
[mm] 2*(\partial)=2
[/mm]
[mm] (\partial)=1 [/mm] !!!
ok das war zu a.
zu
b)
[mm] e^x>1+x
[/mm]
es soll also ein [mm] \partial [/mm] gefunden werden, fü das gilt,
[mm] e^x>\partial>1+x [/mm] sein soll
mit MWS
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}={f(\partial)^'}
[/mm]
ja an dieser stelle weiß ich nicht genau was jetzt f{x} sein soll.
Ich würde mal vermuten das f{x}=x ist. weiß aber nicht genau warum!
also für f{x}=x wähle ich [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=2
[/mm]
[mm] \bruch{f(2)-f(1)}{2-1}=1
[/mm]
[mm] f{\partial}=\partial
[/mm]
[mm] {f(\partial)^'}=1
[/mm]
was denn
1=1 macht.
also ich bin bin mir da etwas unsicher.
schon mal vielen Dank gruß hooover
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Hi, hooover,
> a) Sei a=0, b=4 und [mm]f(x)=\wurzel{x}.[/mm] Finden Sie ein
> [mm]\partial[/mm] ]a,b[, so dass
> [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}={f(\partial)^'}[/mm] ist.
> [mm](wobei\partial=gleich[/mm] xi oder ksi sein soll)
> wieder mal ein par kleine Fragen zu meiner Lösung.
> also zu
>
> a)
>
> also [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}={f(\partial)^'}[/mm]
Ehrlich gesagt verstehe ich Deine Rechnung nicht!
Du hast doch a=0 und b=4,
somit ist f(a)=0 und f(b)=2
Also sieht die linke Seite so aus:
[mm] \bruch{2 - 0}{4 - 0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Nun zur rechten Seite!
Da f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] ist natürlich [mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
und somit [mm] f'(\partial) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{\partial}}
[/mm]
Gleichsetzen ergibt demnach:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{\partial}}
[/mm]
Und daraus folgt (wie bei Dir!) [mm] \partial [/mm] = 1.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 31.08.2006 | | Autor: | hooover |
Oh ja,
vielen Dank zwerglein
natürlich.
Ich hab da wohl für b=2 statt b=4 eingesetzt. Keine Ahnung warum.
Danke nochmal ich hoffe diese Fehler bald einaml vermeiden zukönnen.
Nur komisch das es die gleiche Lösung ist.
Bitte nochamal an ALLE sich Teil anzusehen der wie folgt lautet
b) Zeigen Sie mit HIlfe des Mittelwertsatzes: [mm]e^x>1+x[/mm] für
alle [mm]x\varepsilon\IR \ {0}[/mm]
zu
b)
[mm]e^x>1+x[/mm]
es soll also ein [mm]\partial[/mm] gefunden werden, fü das gilt,
[mm]e^x>\partial>1+x[/mm] sein soll
mit MWS
[mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}={f(\partial)^'}[/mm]
ja an dieser stelle weiß ich nicht genau was jetzt f{x}
sein soll.
Ich würde mal vermuten das f{x}=x ist. weiß aber nicht
genau warum!
also für f{x}=x wähle ich [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=2[/mm]
[mm]\bruch{f(2)-f(1)}{2-1}=1[/mm]
[mm]f{\partial}=\partial[/mm]
[mm]{f(\partial)^'}=1[/mm]
was denn
1=1 macht.
also ich bin bin mir da etwas unsicher.
schon mal vielen Dank gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Do 31.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hoover
Wenn du den MWS nicht auf [mm] e^{x} [/mm] anwendest, kannst du auch nix drüber beweisen.
1. sollte dir klar sein,, das x+1 die Tangente im Nullpkt ist, und der Satz also sagt, dass die e-fkt über ihrer Tangente sitzt.
Damit ist auch klar welhes Intervall du brauchst. a) -r bis 0 und b) 0 bis r.
für b) MWS:
[mm] $\bruch{e^r-e^0}{r-0}=e^{\delta}$ [/mm] mit [mm] 0\le \delta \le [/mm] r
daraus [mm] $e^r [/mm] = [mm] 1+x*e^{\delta}$ [/mm] wegen [mm] e^{\delta}\ge [/mm] 1 bist du fertig. a) entsprechend!
Aber dass du z. Bsp einspezielles Intervall (1,2) überhaupt betrachtest ist schon ein bissel blauäugig!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Fr 01.09.2006 | | Autor: | hooover |
Ich verstehe deine Antwort leider nicht so richtig.
1.
> Damit ist auch klar welhes Intervall du brauchst.
> 0 bis r.
aber x [mm] \varepsilon \IR [/mm] \ {0}
also alle außer Null
2.
für b) MWS:
> [mm]\bruch{e^r-e^0}{r-0}=e^{\delta}[/mm] mit [mm]0\le \delta \le[/mm] r
> daraus [mm]e^r = 1+x*e^{\delta}[/mm] wegen [mm]e^{\delta}\ge[/mm] 1 bist du
> fertig.
man sollte doch zeigen, dass
[mm] e^x>1+x [/mm] ist und nicht gleich
und wieso multiplizeirst du mit [mm] e^{\delta}?
[/mm]
3. soll [mm] \delta=ksi [/mm] sein?
vielen Dank gruß hooover
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Fr 01.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hoover
zu 3. Das [mm] \delta [/mm] hab ich wie du benutzt.
zu 1. für x=0 gilt Gleichheit statt >
> also alle außer Null
>
> 2.
>
> für b) MWS:
> > [mm]\bruch{e^r-e^0}{r-0}=e^{\delta}[/mm] mit [mm]0< \delta \le[/mm] r
> > daraus [mm]e^r = 1+x*e^{\delta}[/mm] wegen [mm]e^{\delta}>[/mm] 1 bist
> du
> > fertig.
>
> man sollte doch zeigen, dass
>
> [mm]e^x>1+x[/mm] ist und nicht gleich
Ich hab ja auch nicht gleich gezeigt! = nur solange [mm]e^{\delta}[/mm] drin steht ist es gleich! wenn du das durch 1 ersetzest verkleinerst du doch die rechte Seite! Ich dachte, diesen letzten Schritt könntest du allein.
> und wieso multiplizeirst du mit [mm]e^{\delta}?[/mm]
Weil das der MWS ist.
> 3. soll [mm]\delta=ksi[/mm] sein?
Namen sind Schall und Rauch! ob man den MWS mit ksi oder delta oder sonst nem Buchstaben hinschreibt ist doch egal! du kannst das Ding, das im Intervall liegt auch hoover nennen!
also MWS:
es existiert ein hoover mit hoover [mm] \in [/mm] (liese,hans) so dass:
[mm] \bruch{f(hans)-f(liese)}{hans-liese}=f'(hoover)
[/mm]
Gruss leduart
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