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MSE wirksamer: Fehler suche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mi 11.07.2012
Autor: Katze_91

Aufgabe
Sei [mm] X_1, [/mm] ... [mm] X_n [/mm] (iid) eine Stichprobe aus der Gleichverteilung auf [0, [mm] \theta [/mm]
Betrachten Sie die folgenden Schätzer
[mm] \theta_1 =2\overline{X} \theta_2=(\bruch{n+1}{n})X_{(n)} [/mm]

1. sind [mm] \theta_1 [/mm] und [mm] \theta_2 [/mm] erwartungstreu
2. bestimmen sie, welcher der beiden Schätzer MSE-wirksamer ist



Hey, bei der Aufgabe dachte ich war, dass ich keine Probleme hätte aber irgendwie klappt was bei der 2. nicht

1. hab ich die erwartungswerte ausgerechnet und beides ist treu

jetzt bei der zwei beim ersten [mm] \theta [/mm]

ich hab erst mit binayme argumentiert und dann ist ja

[mm] MSE(\theta_1)= var(\theta_1)= \bruch{4}{n^2} var(\summe_{i=1}^{n} X_i)=\bruch{4}{n^2} \summe_{i=1}^{n}var( X_i)=\bruch{4}{n^2}*n*\bruch{\theta^2}{12}=\bruch{1}{3n}\theta^2 [/mm]

aber wenn ich das alles anderes aussrechne also:
Nach Definition:
[mm] $$MSE(\hat \Theta_1) [/mm] := E[ [mm] (\hat \Theta_1 [/mm] - [mm] \Theta)^2 [/mm] ]
= E[ (2 [mm] \bar{X} [/mm] - [mm] \Theta)^2 [/mm] ]
= E[ 4 [mm] \bar X^2 [/mm] - 4 [mm] \bar{X} \Theta [/mm] + [mm] \Theta^2] [/mm]
= 4 [mm] E[\bar X^2] [/mm] - 4 [mm] \Theta E[\bar{X}] [/mm] + [mm] \Theta^2.$$ [/mm]

Es gilt:
$$E [mm] [\bar X^2] [/mm] = E [mm] \left[ \frac 1 {n^2} \left( \sum\limits_{i=1}^n x_i \right)^2 \right] [/mm]
= [mm] \frac{ 1 }{n^2} [/mm] E [mm] \left[ \left( \sum\limits_{i=1}^n x_i \right)^2 \right] [/mm]
$$ $$= [mm] \frac{ 1 }{n^2} [/mm] E [mm] \left[ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 + 2 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n x_i x_j \right] [/mm]
= [mm] \frac{ 1 }{n^2} \left( \sum\limits_{i=1}^n E[x_i^2] + 2 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n E[x_i] E[x_j] \right) [/mm]
$$ $$= [mm] \frac{ 1 }{n^2} \left( \frac {\Theta^3} 4 n + 2 \frac {\Theta^2}4 \frac 12 (n-1) n \right) [/mm]
= [mm] \frac {\Theta^3}{4n} [/mm] + [mm] \frac{n-1}{n} \frac {\Theta^2}{4}$$ [/mm]

Und:
[mm] $$E[\bar [/mm] X] = [mm] \frac \Theta [/mm] 2.$$

Damit:
[mm] $$MSE(\hat \Theta_1) [/mm] = 4 [mm] \left( \frac{\Theta^3}{4n} + \frac{n-1}{n} \frac{\Theta^2}{4} \right) [/mm] - 4 [mm] \Theta \cdot \frac{\Theta}{2} [/mm] + [mm] \Theta^2 [/mm]
= [mm] \frac{\Theta^3}n [/mm] + [mm] \frac{n-1}{n} \Theta^2 [/mm] - 2 [mm] \Theta^2 [/mm] + [mm] \Theta^2 [/mm]
= [mm] \frac{\Theta^3}{n} [/mm] - [mm] \frac{\Theta^2}{n}.$$ [/mm]

Wo ist der Fehler :(??

LG

        
Bezug
MSE wirksamer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Do 12.07.2012
Autor: luis52

Moin, bei deiner laenglichen Rechnung    erhaeltst du an einer Stelle [mm] $\operatorname{E}[x_i^2]=\theta^3/4$. [/mm] Hier muss es [mm] \theta^2/4 [/mm] heissen.

Warum nutzt du nicht die alte Bauernregel [mm] $\operatorname{E}[\bar X^2]=\operatorname{Var}[\bar X]+\operatorname{E}^2[\bar [/mm] X]$?

vg Luis

Bezug
                
Bezug
MSE wirksamer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Do 12.07.2012
Autor: Katze_91

Hi ^^
mir gings darum, dass ich einfach nirgendwo einen Fehler gefunden habe :)
aber die Rechnung wird halt falsch, wenn ich statt der Dichte die Verteilungsfunktion in die Formel $$E[X]= [mm] \int_{\Omega} [/mm] x f(x) dx $$ einsetze...
auf jeden fall danke für die Mühe ^^

Bezug
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