ML Schätzer Laplace < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Fr 08.01.2010 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | | $ [mm] (X_i)_{i\in{1,...n}} [/mm] $unabhängige ZV, die jeweils laplace verteilt sind auf {1,...,m}. Berechnen sie für eine Realisierung, den Maximum Likelihood Schätzer m' für m. Prüfen sie ob, p' erwartungstreu und konsistent ist. |
also ich habe das ganze so gemacht:
[mm] L(m)=P_m({(x_1,....,x_n)})=1/m......1/m=1/m^n [/mm]
Dann [mm] \mathcal{L}(m)=-n*ln(m)
[/mm]
[mm] \mathcal{L}'(m)=-n/m
[/mm]
und das muss ja jetzt null sein, nur leider muss dann ja n null sein und m ist beliebig. das kann ja alles nicht passen. weiß jemand was ich da falsch mache? vielen dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Fry |
Hi Aly,
ableiten kannst du bei dieser Aufgabe nicht, weil der Parameterraum nicht stetig ist, m kann ja nur ganze Zahlen annehmen.
Das musst du auch beim Aufstellen von L(x) beachten:
[mm] L(x)=\frac{1}{m^n}*\prod_{i=1}^{n}1_{\{1,...m\}}(x_i)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{m^n}*1_{\{1,...,m\}}max_{1\le i\le n} x_i
[/mm]
Nun ist [mm] \frac{1}{m^n} [/mm] monoton fallend, daher nimmt L(x) in [mm] max_{1\le i\le n} x_i [/mm] sein Maximum an.
LG
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mo 11.01.2010 | | Autor: | aly19 |
Danke für deine Antwort.
Ich verstehe das leider nicht so ganz.
Ist hier das max [mm] x_i [/mm] die variable der Indikatorfunktion?
$ [mm] =\frac{1}{m^n}\cdot{}1_{\{1,...,m\}}max_{1\le i\le n} x_i [/mm] $
das steht ja nicht mehr in klammern? sollen die "größer relationen" unter dem max stehen?
Und wie kommst du dadrauf?
Könntest du das noch ein bisschen erklären? das m nur ganze zahlen einnimmt leuchtet mir jetzt auch ein, aber ich seh nicht ganz was du da machst. Haben gerade erst mit Statsitik angefangen und ich habe noch nicht den großen Durchblick.
Wäre super.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 11.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Danke für deine Antwort.
> Ich verstehe das leider nicht so ganz.
Nimm den Fall $n=3$. Angenommen, es wurde [mm] $x_1=2$, $x_2=7$, $x_3=4$ [/mm] beobachtet. Zeichne jetzt mal die Likelihoodfunktion in Abhaengigkeit von [mm] $m=1,2,3,\dots$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 11.01.2010 | | Autor: | aly19 |
Wie gesagt ich hatte etwas Probleme mit der Notation. Aber ich probiers mal an den Beispiel.
Also [mm] max_{1\le i\le n} x_i [/mm] wäre in diesem Fall ja gleich 7. Oder? Und meine Indikatorvariable wird ja nur zu 1, wenn 7 Element aus 1 bi m ist oder? sonst ist das ganze ja Null. Also muss m größer gleich 7 sein ? Und da [mm] 1/m^n [/mm] monoton fällt ist m=7 meine ML-Schätzung?
Hab ich das so richtig interpretiert?
Aber jetzt steht in der Aufgabenstellung wieder für eine Realisierung [mm] (x_i)_i. [/mm] Heißt das jetzt wieder ich hab nur ein x beobachtet und n=1?
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 11.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Wie gesagt ich hatte etwas Probleme mit der Notation. Aber
> ich probiers mal an den Beispiel.
> Also [mm]max_{1\le i\le n} x_i[/mm] wäre in diesem Fall ja gleich
> 7. Oder? Und meine Indikatorvariable wird ja nur zu 1, wenn
> 7 Element aus 1 bi m ist oder? sonst ist das ganze ja Null.
> Also muss m größer gleich 7 sein ? Und da [mm]1/m^n[/mm] monoton
> fällt ist m=7 meine ML-Schätzung?
> Hab ich das so richtig interpretiert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
>
> Aber jetzt steht in der Aufgabenstellung wieder für eine
> Realisierung [mm](x_i)_i.[/mm] Heißt das jetzt wieder ich hab nur
> ein x beobachtet und n=1?
Gut, kann sein dass ich die andere Aufgabenstellung falsch interpretiere,
so dass dort (wie auch hier) der allgemeine Fall gemeint ist. Aber hier hast du die allgemeine Loesung schon gefunden: [mm] $\hat m_\text{ML}=\max\{X_1,\dots, X_n\}$.
[/mm]
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
Gerne.
vg Luis
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