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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 24.01.2012 | | Autor: | Move |
| Aufgabe | In einer Urne sind N [mm] \ge [/mm] 2 Lose mit den Nummern 1,...,N, wobei N unbekannt ist. Es wird n [mm] \le [/mm] N Mal ohne Zurücklegen gezogen mit den Ergebnissen [mm] x_1,...,x_n.
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer T für N.
b) Berechnen Sie [mm] E_N(T) [/mm] und konstruieren Sie daraus einen erwartungstreuen Schätzer T* für N. |
Hey Leute,
Erstmal meine Gedanken zu Teil a (bin mir nicht sicher, ob das richtig ist).
Zu betrachten ist ein ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen. D.h. wir haben [mm] P_N (A)=\bruch{|A|}{|\Omega|}=\bruch{1}{\vektor{N \\ n}}, [/mm] wenn A das Ereignis, dass die Elemente [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] bezogen wurde, bezeichnet. Gesucht ist nun ein maximum Likelihood-Schätzer T für N, also ein N, sodass [mm] P_N [/mm] möglichst groß wird. Das wäre dann ja [mm] T(x)=max(x_1,...,x_n), [/mm] oder?
Es muss ja nämlich [mm] N\ge x_1,...,x_n [/mm] sein.
Ist das so weit richtig?
(Wie ich damit Teil b machen kann, weiß ich noch nicht so richtig...)
Danke schon im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 24.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Gesucht ist nun ein maximum
> Likelihood-Schätzer T für N, also ein N, sodass [mm]P_N[/mm]
> möglichst groß wird.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das wäre dann ja
> [mm]T(x)=max(x_1,...,x_n),[/mm] oder?
Aber wieso ist [mm] $P_N$ [/mm] fuer [mm] $N=\max\{x_1,\dots,x_n\}$ [/mm] maximal?
> Es muss ja nämlich [mm]N\ge x_1,...,x_n[/mm] sein.
Schon, aber das beantwortet m.E. nicht die Frage oben.
Hier muss ein analytisches Argument her.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Move |
Naja, wenn N größer als [mm] max(x_1,...,x_n) [/mm] wäre, dann wäre ja [mm] P_N=\bruch{1}{\vektor{N \\ n}}<\bruch{1}{\vektor{max(x_1,...,x_n) \\ n}}. [/mm] Wäre [mm] N
Und wie macht man b? Wir dürfen dafür noch verwenden, dass [mm] \summe_{i=n}^{N}\vektor{k \\ n}=\vektor{N+1 \\ n+1} [/mm] und [mm] E(X)=\summe_{n=1}^{\infty} P(x\ge [/mm] n).
Gesucht ist ja jetzt ein erwartungstreuer Schätzer für N. D.h. [mm] E_N(T^\*)=N. [/mm]
Die Verteilugnsfunktion von T ist erstmal [mm] P(T\le [/mm] x) = [mm] P(X_1\le x,...,X_n\le [/mm] x) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} P(X_i \le [/mm] x)= [mm] (\bruch{x}{\vektor{N \\ n}})^n. [/mm] Richtig?
Nun habe ich Probleme, den Erwartungswert auszurechnen, sieht jemand, wie man die obigen Hinweise verwenden kann??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mi 25.01.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Und wie macht man b? Wir dürfen dafür noch verwenden,
> dass [mm]\summe_{i=n}^{N}\vektor{k \\ n}=\vektor{N+1 \\ n+1}[/mm]
> und [mm]E(X)=\summe_{n=1}^{\infty} P(x\ge[/mm] n).
>
> Gesucht ist ja jetzt ein erwartungstreuer Schätzer für N.
> D.h. [mm]E_N(T^\*)=N.[/mm]
> Die Verteilugnsfunktion von T ist erstmal [mm]P(T\le[/mm] x) =
> [mm]P(X_1\le x,...,X_n\le[/mm] x) = [mm]\produkt_{i=1}^{n} P(X_i \le[/mm] x)=
> [mm](\bruch{x}{\vektor{N \\ n}})^n.[/mm] Richtig?
Falsch! Es wird *ohne* Zuruecklegen gezogen, so dass keine Unabhaengigkeit der [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] angeommen werden kann.
vg Luis
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