M-LK-Abitur 2003; Geometrie < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 25.07.2004 | | Autor: | Josef |
Mich interessiert der Lösungsweg folgender Aufgabe:
Ein Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen [mm]\bruch{3}{2}a[/mm] und b.
Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen [mm]\bruch{3}{2}a[/mm] und a sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a.
a)
Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeiltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:
V = [mm]\bruch{9}{4}[/mm][mm] a^{2}b, [/mm] S = [mm]\bruch{9}{2}[/mm][mm] a^{2} [/mm] +[mm]\bruch{9}{2}[/mm]ab.
b)
Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 [mm] m^3 [/mm] ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele [mm] m^2 [/mm] Zeltplane werden in diesem Fall genötigt?
Meine Lösungsschritte zu a:
Es handelt sich um ein gerades Prisma.
V = A*h
Rechtkant (Quader):
V = a*b*c
gerades Prisma; Grundfläche = gleichschenkliges Dreieck.
F = [mm]\bruch{g*h}{2}[/mm]
Werte des gleichschenkligen Dreiecks in obige Formel einsetzen:
[mm]\bruch{3}{2}a*a[/mm]/2 = [mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm] a^2
[/mm]
Werte für Prisma einsetzen:
[mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm] a^2*b [/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm] a^{2}b.
[/mm]
Werte für Rechtkant einsetzen:
[mm]\bruch{3}{2}[/mm]a*a*b = [mm]\bruch{3}{2}[/mm][mm] a^{2}b.
[/mm]
Ergebnisse Prisma und Rechtkant addieren:
[mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm] a^{2}b [/mm] +[mm]\bruch{3}{2}[/mm][mm] a^{2}b [/mm] =
[mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm] a^{2}b [/mm] +[mm]\bruch{6}{4}[/mm][mm] a^{2}b [/mm] =
V = [mm]\bruch{9}{4}[/mm][mm] a^{2}b.
[/mm]
Gleichschenkliges Dreieck; Seiten berechnen:
[mm] h_b [/mm] = [mm]\wurzel{{a^2-\bruch{b^2}{4}}[/mm]
Werte einsetzen:
a = [mm]\wurzel{x^{2}-({3}/{2}}a/{4})^2[/mm] =
a = [mm]\wurzel{x^2 -{({9}/{16})}a^2[/mm]
beide Seiten quadrieren:
[mm] a^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] -[mm]\bruch{9}{16}[/mm][mm] a^2 [/mm] =
[mm] a^2 [/mm] +[mm]\bruch{9}{16}[/mm][mm] a^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm]
[mm]\bruch{16}{16}[/mm][mm] a^2 [/mm] +[mm]\bruch{9}{16}[/mm][mm] a^2 [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm]\bruch{25}{16}[/mm][mm] a^2 [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm]\bruch{5}{4}[/mm]a = x
Flächeninhalt der gleichschenkligen Dreiecke:
[mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm] a^2 [/mm] *2 = [mm]\bruch{6}{4}[/mm][mm] a^2
[/mm]
Kopfflächen des Rechtkantes:
[mm]\bruch{3}{2}[/mm]a*a*2 = [mm]\bruch{6}{2}[/mm][mm] a^2
[/mm]
Seitenflächen des Rechtkantes:
a*b*2 = 2ab
Zeltdächer:
[mm]\bruch{5}{4}[/mm]a*b*2 = [mm]\bruch{10}{4}[/mm]ab
Alle Flächen addieren:
[mm]\bruch{6}{4}[/mm][mm] a^2 [/mm] +[mm]\bruch{6}{2}[/mm][mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm]\bruch{10}{4}[/mm]ab
[mm]\bruch{6}{4}[/mm][mm] a^2[/mm] [mm]\bruch{12}{4}[/mm][mm] a^2 [/mm] +[mm]\bruch{8ab}{4}[/mm] +[mm]\bruch{10}{4}[/mm]ab
[mm]\bruch{18}{4}[/mm][mm] a^2 [/mm] +[mm]\bruch{18}{4}[/mm]ab
S = [mm]\bruch{9}{2}[/mm][mm] a^2 [/mm] +[mm]\bruch{9}{2}[/mm]ab.
b)
121,5 = [mm]\bruch{9}{4}[/mm][mm] a^{2}b [/mm] | : [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
54 = [mm] a^{2}b
[/mm]
Für den weiteren Rechenweg fehlern mir die Kenntnisse.
Wer kann mir die weiteren Lösungsschritte angeben?
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Hallo Josef,
also du wolltest ja nur wissen wie man bei b weiter macht, oder? Nun ich würde die Gleichung die du hast als Nebenbedingung auffassen. Also stelle ich sie nach einer der beiden gesuchten Variablen um z.B. $ b $ um. Dann setzt ich $ b $ in $ S $ ein und differenziere dann. Um ein Extrema zu bekommen setzen wir das dann gleich null. Also:
$ 0 = 9a - [mm] 243a^{-2} [/mm] $
Dann klammern wir z.B. $ [mm] a^{-2} [/mm] $ aus.:
$ 0 = [mm] a^{-2} (9a^3 [/mm] -243) $
Nun wir wissen das $ a > 0 $ sein muss, also kann $ [mm] a^{-2} [/mm] $ nicht gleich null sein (außerdem kann $ [mm] a^{-2} [/mm] $ nie gleich null sein). Also muss gelten:
$ 0 = [mm] (9a^3 [/mm] -243) $
Und dafür habe ich $ a = 3 $
Nun überprüfst du noch ob die zweite Ableitung größer null ist (hinreichende Bedingung). Das ist hier auch der Fall und dann berechnächst du $ b $ mit der Volumenformel. Dann setzt du beide Werte in $ S $ ein und du hast deine Fläche. Fertig!
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Frank,
vielen Dank für deine Ausführungen! Du hast mir sehr geholfen.
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