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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:35 Sa 15.05.2004 | | Autor: | lisa22 |
In einem Raum sitzen eine grosse Anzahl (identischer) Lügner im Kreis zusammen. Man fluestert nun einem "ja" oder "nein" ins Ohr. Er wird nun mit der Wahrscheinlichkeit p das ja zu einem nein oder nein zu ja verandern, bevor er es weitersagt. Das geht immer so weiter. Frage ist: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sagt, wenn man dem 1. "ja" sagt, auch der n-te Lügner "ja".
und was passiert fuer n->oo.
Ich habe mir ueberlegt, dass p, wenn n gegen unendlich strebt eigentlich 0,5 werden sollte, jedoch auf sehr umstaendliche und formal schlechte art und weise, bin mir sicher, dass wenn es ueberhaupt stimmt, sicher eleganter geht.
was den ersten teil der aufgabe habe ich mir anschaulich die faelle fuer n=1..6 klargemacht, daraus folgt, dass wenn n gerade ist die wahrscheinlichkeit fuer ein "ja" (und q=1-p) [mm] q^n [/mm] + [mm] p^2*q^4 [/mm] mal 6ueber4 + [mm] p^4*q^2 [/mm] mal 6ueber2...ich habe die idee, eine indukation nach n durchzufuehren, komme da aber nicht weiter...wenn jemand von euch meine gedanken ein bisschen ordnen und korrigieren koennte, waere ich sehr dankbar.
viele gruesse, und schoenes wochenende.
lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lisa22,
mal sehen, ob ich die Wahrheit sage:
> In einem Raum sitzen eine grosse Anzahl (identischer)
> Lügner im Kreis zusammen. Man fluestert nun einem "ja" oder
> "nein" ins Ohr. Er wird nun mit der Wahrscheinlichkeit p
> das ja zu einem nein oder nein zu ja verandern, bevor er es
> weitersagt. Das geht immer so weiter. Frage ist: Mit
> welcher Wahrscheinlichkeit sagt, wenn man dem 1. "ja" sagt,
> auch der n-te Lügner "ja".
> und was passiert fuer n->oo.
>
> Ich habe mir ueberlegt, dass p, wenn n gegen unendlich
> strebt eigentlich 0,5 werden sollte, jedoch auf sehr
> umstaendliche und formal schlechte art und weise, bin mir
> sicher, dass wenn es ueberhaupt stimmt, sicher eleganter
> geht.
Das denke ich auch, und es wird doch eleganter gehen, wenn wir die Ergebnisse aus dem ersten Teil haben.
>
> was den ersten teil der aufgabe habe ich mir anschaulich
> die faelle fuer n=1..6 klargemacht, daraus folgt, dass wenn
> n gerade ist die wahrscheinlichkeit fuer ein "ja" (und
> q=1-p) [mm] q^n [/mm] + [mm] p^2*q^4 [/mm] mal 6ueber4 + [mm] p^4*q^2 [/mm] mal
> 6ueber2...ich habe die idee, eine indukation nach n
> durchzufuehren, komme da aber nicht weiter...wenn jemand
> von euch meine gedanken ein bisschen ordnen und korrigieren
> koennte, waere ich sehr dankbar.
Du versuchst also eine Argumentation vergleichbar dieser hier: Wenn eine gerade Anzahl Lügner in der Kette lügt, dann kommt auch ein "ja" am Ende raus. Das würde vielleicht sogar funktionieren, und es stimmt, dass dann der Binomialkoeffizient da reinspielt.
Ich habe mir (dagegen) folgendes überlegt. Ich erstelle eine Folge [mm] $(p_i)_{i\in\IN}$ [/mm] von W'keiten, wobei [mm] $p_i$ [/mm] die W'keit ist, dass der i-te Lügner "ja" sagt.
Die W'keit, dass der erste Lügner "ja" sagt, ist 1-p (er sagt mit dieser W'keit ja die Wahrheit), also:
[mm] $p_1=1-p
[/mm]
Der zweite Lügner sagt "ja", wenn er die Wahrheit sagt und der erste Lügner "ja" sagt, aber auch, wenn der erste Lügner ihm "nein" sagt und der zweite dann lügt; also:
[mm] $p_2=\underbrace{p_1}_{\mbox{\scriptsize{1. Lügner sagt ja}}}*\underbrace{(1-p)}_{\mbox{\scriptsize{2. Lügner sagt Wahrheit}}}+\underbrace{(1-p_1)}_{\mbox{\scriptsize{1. Lügner sagt nein}}}*\underbrace{p}_{\mbox{\scriptsize{2. Lügner lügt}}}$
[/mm]
Genauso sieht es auch für den n-ten Lügner aus:
[mm] $p_n=p_{n-1}*(1-p)+(1-p_{n-1})*p$
[/mm]
Das ist also zunächst eine rekursive Definition der W'keiten, vielleicht schaffst du ja damit, eine explizite Formel für [mm] p_n [/mm] anzugeben? Auf den ersten Blick erscheint es mit jedenfalls nicht unmöglich, ich habe es auch noch nicht probiert...
Versuche aber mal (nachdem du die Formel für [mm] $p_n$ [/mm] etwas vereinfachst hast), nacheinander [mm] $p_2$, $p_3$, $p_4$ [/mm] explizit hinzuschreiben und dann die Regelmäßigkeit zu erkennen...
Viel Erfolg,
Marc
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