Lsg# von Kongruenz mod p < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
| Aufgabe 1 | | Satz B: Für die Anzahl N(F,p) der Lösungen der Kongruenz [mm] F(x_1,...,x_n)\equiv [/mm] 0 (mod p) gilt die Ungleichung [mm] \vmat{N(F,p)-p^{n-1}} |
| Aufgabe 2 | | Man zeige, dass Satz B für das Polynom [mm] F=x^2-y^2 [/mm] falsch ist. (bezüglich der nichttrivialen Lösungen). Dieses Polynom ist natürlich nicht absolut irreduzibel. |
Hallo!
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das Beispiel angehen kann, aber ich habe bereits einen Tipp bekommen, dass ich es irgendwie darüber zeigen kann, wenn ich zeige dass [mm] \{p : x^2 - y^2 = 0\_ mod \_p\_ hat\_ nur\_ die\_ triviale\_ Lsg \_(x,y)=(0,0)\} [/mm] unendlich ist.
Einerseits weiß ich aber nicht, was mir die Unendlichkeit für diese Ungleichung hilft.
Wenn das der richtige Ansatz ist, dann weiß ich nicht genau wie ich es angehen kann. also ich würde das Polynom berechnen dabei würde ich [mm] t=\bruch{y}{x} [/mm] setzen, damit wäre [mm] t^2=1.
[/mm]
Die Ordnung von t ist somit 2 und [mm] t\in F_p [/mm] (eine multiplikative gruppe).
t existiert genau dann, wenn 2|p-1 gilt.
Aber ab da würde ich hängen. wäre die Ordnung 4 so würde lt. Dirichletschen Primzahlsatz gelten, dass es unendlich viele [mm] p\equiv [/mm] 1 (mod 4) gibt. Gilt sowas auch für [mm] p\equiv [/mm] 1 (mod 2)?
Lg,
Imbecile
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moin,
> Satz B: Für die Anzahl N(F,p) der Lösungen der Kongruenz
> [mm]F(x_1,...,x_n)\equiv[/mm] 0 (mod p) gilt die Ungleichung
> [mm]\vmat{N(F,p)-p^{n-1}}
> Konstante C(F) nur vom Polynom F, aber nicht von p
> abhängt.
>
> Man zeige, dass Satz B für das Polynom [mm]F=x^2-y^2[/mm] falsch
> ist. (bezüglich der nichttrivialen Lösungen). Dieses
> Polynom ist natürlich nicht absolut irreduzibel.
Das heißt also der Satz B gilt nur für irreduzible Polynome?
Dann solltest du das vielleicht noch dazusagen?^^
> Hallo!
>
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich das Beispiel angehen
> kann, aber ich habe bereits einen Tipp bekommen, dass ich
> es irgendwie darüber zeigen kann, wenn ich zeige dass [mm]\{p : x^2 - y^2 = 0\_ mod \_p\_ hat\_ nur\_ die\_ triviale\_ Lsg \_(x,y)=(0,0)\}[/mm]
> unendlich ist.
Diese Menge ist nicht unendlich, diese Menge ist leer.
Denn sei $a [mm] \in \IF_p$ [/mm] beliebig, dann ist $(a,a)$ eine Lösung (denn [mm] $a^2-a^2 [/mm] = 0$ (mod $p$). )
Somit hast du den Tipp wohl falsch verstanden oder er ist schlichtweg falsch.
> Einerseits weiß ich aber nicht, was mir die Unendlichkeit
> für diese Ungleichung hilft.
> Wenn das der richtige Ansatz ist, dann weiß ich nicht
> genau wie ich es angehen kann. also ich würde das Polynom
> berechnen dabei würde ich [mm]t=\bruch{y}{x}[/mm] setzen, damit
> wäre [mm]t^2=1.[/mm]
Jo, das stimmt zwar, aber ich sehe nicht was dir das bringt.
Denn auch hier würde wieder jedes Paar $(a,a)$ für $a [mm] \neq [/mm] 0$ die Gleichung [mm] $t=\frac{a}{a} [/mm] = 1$ erfüllen, damit wäre insbesondere [mm] $t^2 [/mm] = 1$ ($t$ hätte hier also Ordnung 1 und nicht 2).
Du würdest damit sogar die Lösung $(0,0)$ verlieren, denn für diese kannst du nicht durch $y$ teilen.
> Die Ordnung von t ist somit 2 und [mm]t\in F_p[/mm] (eine
> multiplikative gruppe).
Die Ordnung ist ein Teiler von $2$, insbesondere kann sie auch 1 sein.
> t existiert genau dann, wenn 2|p-1 gilt.
> Aber ab da würde ich hängen. wäre die Ordnung 4 so
> würde lt. Dirichletschen Primzahlsatz gelten, dass es
> unendlich viele [mm]p\equiv[/mm] 1 (mod 4) gibt. Gilt sowas auch
> für [mm]p\equiv[/mm] 1 (mod 2)?
Was bedeutet denn $p [mm] \equiv [/mm] 1$ (mod $2$)?
Das bedeutet, dass $p$ nicht durch 2 teilbar, also ungerade ist.
Gibt es unendlich viele ungerade Primzahlen?
Die Anzahl deiner Lösungen bekommst du hier, indem du das Polynom faktorisierst und bedenkst, dass ein Polynomring über einem Körper (in diesem Fall [mm] $\IF_p$) [/mm] ein Integritätsbereich ist, d.h. ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.
Berechne also mal die Anzahl, löse die ganze Gleichung nach deinem $C(F)$ auf und zeige dann, dass dieses (für $p$ gegen unendlich) unendlich groß werden muss; somit also insbesondere nicht nur von $F$ abhängen kann.
>
> Lg,
> Imbecile
lg
Schadow
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
Also, der Satz B ist in dem Buch genauso geschrieben wie ich ihn hier abgetippt habe. Das Beispiel selbst besteht aber aus 2 Teilen, einmal den Satz A zu widerlegen, dieser Satz gilt aber nur für absolut irreduzible Polynome, und das zweite ist dieses Beispiel. Ich hatte bei der Angabe diesen Teil nicht weggelassen, aber nach der Beschreibung von Satz B ist dieser Satz eine allgemeinere Formulierung von Satz A bei dem das Polynom F nur fixiert sein muss.
Der Tipp den ich hier bekommen hatte war für den ersten Teil des Beispiels, für den hat es auch so funktioniert, mit der Anmerkung der 2. Teil müsste mit dem gleichen Ansatz funktionieren.
Jetzt zu deiner Anweisung:
Wenn ich [mm] F=x^2-y^2 [/mm] Faktorisiere erhalte ich natürlich F=(x-y)(x+y). Daraus sehe ich, dass es genau dann 0 ist, wenn [mm] x=\pm [/mm] y gilt. Also ist N=2 wie auch n=2.
Löse ich die Ungleichung nach C(F) auf erhalte ich also:
[mm] C(F)>\vmat{\bruch{2}{p^{1-\bruch{1}{2}}}-p^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Es reicht also, wenn ich nun zeige: [mm] \limes_{p\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{2}{p^{1-\bruch{1}{2}}}-p^{\bruch{1}{2}}}=\infty
[/mm]
da der linke Teil gegen 0 und der rechte gegen Unendlich geht.
Also ein C(F) mit dieser Definition kann nicht existieren, da der Rest gegen unendlich geht?
Habe ich das richtig verstanden und gemacht?
Lg,
Imbecile
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 14.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Mo 16.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jetzt zu deiner Anweisung:
> Wenn ich [mm]F=x^2-y^2[/mm] Faktorisiere erhalte ich natürlich
> F=(x-y)(x+y). Daraus sehe ich, dass es genau dann 0 ist,
> wenn [mm]x=\pm[/mm] y gilt. Also ist N=2 wie auch n=2.
Wenn $N = N(F, p)$ sein soll, dann ist $N$ nicht gleich 2. Es ist gleich $2 p - 1$.
LG Felix
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