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| Aufgabe | Betrachte nachstehendes Randwertproblem
$y' = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y$ [/mm] mit den Randbedingungen [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y(0) [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}y(1)= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Hat dieses Randwertproblem eine Lösung? |
Hallo,
Nachstehend meine Lösung - ich führe sie bewusst, etwas umständlich aus (dieses Bsp. ist relativ einfach, aber das Verfahren dient zur Übung auch für komplexere Bsps)
Bestimmen wir vorerst einmal die Eigenwerte von [mm] $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm] - das char. Polynom lautet natürlich [mm] $\lambda^2$ [/mm] und damit existiert eine doppelte Nullstelle, nämlich [mm] $\lambda_{1,2} [/mm] =0$
Insofern erhalten wir als Fundamentalmatrix [mm] $\begin{pmatrix} exp(0) & x*exp(0) \\ 0 & exp(0) \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Nun bestimmen wir dazu die entsprechenden Eigenvektoren , zu $ [mm] \lambda [/mm] = 0$ erhalten wir den Eigenvektor [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
hierzu ist ein Hauptvektor dann natürlich [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Also genügt die Wronski-Matrix der Form:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Wir setzen $ R = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
det(R) = 0, also hat das Randwertproblem keine Lösung.
Beste Grüße und Dank
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Betrachte nachstehendes Randwertproblem
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> [mm]y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y[/mm] mit den
> Randbedingungen [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y(0) + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}y(1)= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> Hat dieses Randwertproblem eine Lösung?
> Hallo,
>
> Nachstehend meine Lösung - ich führe sie bewusst, etwas
> umständlich aus (dieses Bsp. ist relativ einfach, aber das
> Verfahren dient zur Übung auch für komplexere Bsps)
>
>
> Bestimmen wir vorerst einmal die Eigenwerte von
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] - das char.
> Polynom lautet natürlich [mm]\lambda^2[/mm] und damit existiert
> eine doppelte Nullstelle, nämlich [mm]\lambda_{1,2} =0[/mm]
>
> Insofern erhalten wir als Fundamentalmatrix [mm]\begin{pmatrix} exp(0) & x*exp(0) \\ 0 & exp(0) \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Nun bestimmen wir dazu die entsprechenden Eigenvektoren ,
> zu [mm]\lambda = 0[/mm] erhalten wir den Eigenvektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] is kein Eigenvektor
zum Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm], denn
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> hierzu ist ein Hauptvektor dann natürlich [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$[/mm]
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> Also genügt die Wronski-Matrix der Form:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> Wir setzen [mm]R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> det(R) = 0, also hat das Randwertproblem keine Lösung.
>
> Beste Grüße und Dank
>
> Thomas
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Thomas_Aut,
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> > Betrachte nachstehendes Randwertproblem
> >
> > [mm]y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y[/mm] mit den
> > Randbedingungen [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y(0) + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}y(1)= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> >
> > Hat dieses Randwertproblem eine Lösung?
> > Hallo,
> >
> > Nachstehend meine Lösung - ich führe sie bewusst, etwas
> > umständlich aus (dieses Bsp. ist relativ einfach, aber das
> > Verfahren dient zur Übung auch für komplexere Bsps)
> >
> >
> > Bestimmen wir vorerst einmal die Eigenwerte von
> > [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] - das char.
> > Polynom lautet natürlich [mm]\lambda^2[/mm] und damit existiert
> > eine doppelte Nullstelle, nämlich [mm]\lambda_{1,2} =0[/mm]
> >
> > Insofern erhalten wir als Fundamentalmatrix [mm]\begin{pmatrix} exp(0) & x*exp(0) \\ 0 & exp(0) \end{pmatrix}[/mm]
> > = [mm]\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> >
> > Nun bestimmen wir dazu die entsprechenden Eigenvektoren ,
> > zu [mm]\lambda = 0[/mm] erhalten wir den Eigenvektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] is kein Eigenvektor
> zum Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm], denn
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Da hast du natürlich recht - der Eigenvektor muss natürlich [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] lauten und damit ist der Hauptvektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm].
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> > hierzu ist ein Hauptvektor dann natürlich [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$[/mm]
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> > Also genügt die Wronski-Matrix der Form:
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Wir setzen [mm]R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > det(R) = 0, also hat das Randwertproblem keine Lösung.
> >
> > Beste Grüße und Dank
> >
> > Thomas
> >
>
Das sollte allerdings nichts am Rest ändern?
Gruß
Thomas
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Thomas_Aut,
> > Hallo Thomas_Aut,
> >
> > > Betrachte nachstehendes Randwertproblem
> > >
> > > [mm]y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y[/mm] mit den
> > > Randbedingungen [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}y(0) + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}y(1)= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > >
> > > Hat dieses Randwertproblem eine Lösung?
> > > Hallo,
> > >
> > > Nachstehend meine Lösung - ich führe sie bewusst, etwas
> > > umständlich aus (dieses Bsp. ist relativ einfach, aber das
> > > Verfahren dient zur Übung auch für komplexere Bsps)
> > >
> > >
> > > Bestimmen wir vorerst einmal die Eigenwerte von
> > > [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] - das char.
> > > Polynom lautet natürlich [mm]\lambda^2[/mm] und damit existiert
> > > eine doppelte Nullstelle, nämlich [mm]\lambda_{1,2} =0[/mm]
> >
> >
> > > Insofern erhalten wir als Fundamentalmatrix [mm]\begin{pmatrix} exp(0) & x*exp(0) \\ 0 & exp(0) \end{pmatrix}[/mm]
> > > = [mm]\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > >
> > > Nun bestimmen wir dazu die entsprechenden Eigenvektoren ,
> > > zu [mm]\lambda = 0[/mm] erhalten wir den Eigenvektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] is kein Eigenvektor
> > zum Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm], denn
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Da hast du natürlich recht - der Eigenvektor muss
> natürlich [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] lauten und
> damit ist der Hauptvektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm].
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> > > hierzu ist ein Hauptvektor dann natürlich [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$[/mm]
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> > >
> > > Also genügt die Wronski-Matrix der Form:
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > > Wir setzen [mm]R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> > > det(R) = 0, also hat das Randwertproblem keine Lösung.
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> > > Beste Grüße und Dank
> > >
> > > Thomas
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>
> Das sollte allerdings nichts am Rest ändern?
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So ist es.
> Gruß
> Thomas
> >
> > Gruss
> > MathePower
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Super, danke vielmals für die Korrektur.
Lg Thomas
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