L^p Räume < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mo 16.06.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich habe ein paar Unklarheiten bzgl. Lebesgue-Räumen. Ich gehe gerade ein Paper durch und möchte dort folgendes nachvollziehen.
Gegeben sei s > 3. Außerdem seien Funktionen [mm] f_a, f_b [/mm] gegeben, mit [mm] f_a [/mm] , [mm] f_b \in L^t(\Omega) [/mm] mit t [mm] \geq [/mm] s.
Dann gilt anscheinend:
[mm] \{ g \in L^2(\Omega): f_a \leq g \leq f_b \text{ almost everywhere on } \Omega \} \subset L^t(\Omega)
[/mm]
Diese Inklusion verstehe ich nicht. Ist es nicht so, dass für p,q [mm] \in [1,\infty) [/mm] mit p < q gilt, dass [mm] L^q \subset L^p? [/mm] Dann müsste die Inklusion ja andersrum sein... Die Quelle ist aber absolut zu 100% korrekt, davon bin ich überzeugt...
Außerdem: warum kann man die Ungleichungen [mm] f_a \leq [/mm] g [mm] \leq f_b [/mm] fordern, obwohl [mm] f_a/f_b [/mm] und g aus verschiedenen Räumen sind?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Darüber wäre ich sehr dankbar.
moerni
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Hiho,
fangen wir mal ganz einfach an: Wann gilt denn $g [mm] \in L^t(\Omega)$?
[/mm]
Schreibe dir die Definition hin und versuche das mit der Bedingung [mm] $f_a \le [/mm] g [mm] \le f_b$ [/mm] zu zeigen.
> Ist es nicht so, dass für p,q [mm]\in [1,\infty)[/mm] mit p < q gilt, dass [mm]L^q \subset L^p?[/mm]
Doch, das ändert aber nichts an der Aussage.
> Dann müsste die Inklusion ja andersrum sein...
Ohoh, aufpassen! Du hast zwar eine größere Ursprungsmenge mit [mm] $L^2(\Omega)$ [/mm] diese wird aber durch eine Bedingung eingeschränkt.
Es gilt doch zwar: $[0,2] [mm] \subset [/mm] [0,4]$, allerdings gilt ebenso:
[mm] $\{x\in [0,4]: \bruch{1}{2} \le x \le \bruch{3}{2}\} \subset [/mm] [0,2]$
> Außerdem: warum kann man die Ungleichungen [mm]f_a \leq[/mm] g [mm]\leq f_b[/mm] fordern, obwohl [mm]f_a/f_b[/mm] und g aus verschiedenen Räumen sind?
Es sind doch alles Funktionen von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Du kannst doch auch stetige und differenzierbare Funktionen vergleichen, obwohl sie in "unterschiedlichen" Räumen liegen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 16.06.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo Gonozal_IX!
Erstmal vielen vielen Dank für die rasche Antwort. Deine Hinweise haben mir schon einige Aspekte klarer gemacht 
Allerdings bin ich noch nicht komplett durchgestiegen.
Es ist g [mm] \in L^t(\Omega) \Leftrightarrow [/mm] g: [mm] \Omega \to \mathbb{R}, [/mm] g Lebesgue messbar und [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^t(\Omega)} [/mm]
= [mm] (\int_\Omega |g|^t dx)^{1/t} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
"... versuche das mit der Bedingung [mm] f_a \leq [/mm] g [mm] \leq f_b [/mm] zu zeigen..." Diese Bedingung bedeutet doch, dass für fast alle x [mm] \in \Omega [/mm] gilt, dass [mm] f_a(x) \leq [/mm] g(x) [mm] \leq f_b(x) [/mm] gilt - diese Werte sind ja in [mm] \mathbb{R}. [/mm] Hat diese Ungleichung eine Auswirkung auf die Beschaffenheit von g bzgl. des Raumes, in dem g liegt? Ich weiß daraus doch nur, dass die Werte von g zwischen denen von [mm] f_a [/mm] und [mm] f_b [/mm] liegen.
Kannst du mir da auf die Sprünge helfen?
Liebe Grüße,
moerni
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Hiho,
> Erstmal vielen vielen Dank für die rasche Antwort. Deine Hinweise haben mir schon einige Aspekte klarer gemacht
Schön.
> Es ist g [mm]\in L^t(\Omega) \Leftrightarrow[/mm] g: [mm]\Omega \to \mathbb{R},[/mm] g Lebesgue messbar und [mm]\parallel[/mm] g [mm]\parallel_{L^t(\Omega)}[/mm] = [mm](\int_\Omega |g|^t dx)^{1/t}[/mm] < [mm]\infty[/mm]
Ja, wobei du dir die Potenz [mm] \bruch{1}{t} [/mm] sparen kannst, das macht die meisten Beweise einfacher.
Die Meßbarkeit von g haben wir ja gegeben, bleibt nun also zu zeigen, dass [mm] $\int_\Omega |g|^t [/mm] dx< [mm] \infty$
[/mm]
> Diese Bedingung bedeutet doch, dass für fast alle x [mm]\in \Omega[/mm] gilt, dass [mm]f_a(x) \leq[/mm] g(x) [mm]\leq f_b(x)[/mm] gilt - diese Werte sind ja in [mm]\mathbb{R}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hat diese Ungleichung eine Auswirkung auf die Beschaffenheit von g
> bzgl. des Raumes, in dem g liegt? Ich weiß daraus doch nur, dass die Werte von g zwischen denen von [mm]f_a[/mm] und [mm]f_b[/mm] liegen.
Ja, das reicht ja auch aus. Du hast also eine Wachstumsbedingung an g, d.h. g kann also nicht beliebig groß oder klein werden und damit ist das Integral eben auch in gewisser Weise eingeschränkt und kann damit nur begrenzt wachsen. Da [mm] f_a [/mm] und [mm] f_b [/mm] t-integrierbar sind sollte wohl auch die Funktionen "dazwischen" t-integrierbar sein.
Und genau das ist hier eben zu zeigen.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 16.06.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo Gonozal_IX,
Vielen Dank für deine Antwort. Jetzt hab ich es verstanden!! Das Ausformulieren kriege ich nun selber hin
Danke und liebe Grüße,
moerni
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