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L^p - Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mi 11.05.2011
Autor: jay91

Aufgabe
es ist ein endlicher Maßraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] und [mm] f:(\Omega, \mathcal{A}) ->(\IR,\mathcal{B}) [/mm] eine messbare Funktion und [mm] 0 zeige:
[mm] ||f||_{\infty} [/mm] => [mm] lim_{n->\infty} n^p \mu(|f|>n) [/mm] = 0

mit [mm] ||f||_{p} [/mm] ist gemeint:
[mm] ||f||_{p}:=(\integral {|f|^{p} d\mu})^{1/p} [/mm] (Seminorm)

es könnte sein, dass man benutzen kann:

[mm] \integral {|f|^a d\mu} [/mm] = a [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{a-1} \mu(|f|>t) \lambda(dt)} [/mm]

ich weiß nicht wie ich vorgehen soll. mir fällt die richtige idee nicht ein.


        
Bezug
L^p - Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Mi 11.05.2011
Autor: Blech

Hi,

> $ [mm] ||f||_{\infty} [/mm] $ => $ [mm] lim_{n->\infty} n^p \mu(|f|>n) [/mm] $ = 0

Was will mir [mm] $\| f\|_\infty$ [/mm] sagen? [mm] $\|f\|_p<\infty$? [/mm]



> $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{a-1} \mu(|f|>t) \lambda(dt)} <\infty$ [/mm]

Daraus kannst Du eine Majorante für [mm] $\mu(|f|>t)$ [/mm] (das monoton fallend ist) finden.

ciao
Stefan

Bezug
        
Bezug
L^p - Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Mi 11.05.2011
Autor: Fry

Schau mal hier:

https://matheraum.de/read?t=791623

Gruß
Fry


Bezug
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