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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 So 31.08.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Meine Frage bezieht sich auf die Beziehung zwischen [mm] L^p-Normen [/mm] und der euklidischen Norm in [mm] \mathbb{R}^n.
[/mm]
Gegeben sei eine Funktion u [mm] \in L^2([0,T]), [/mm] wobei [0,T] ein festes Zeitintervall sein soll. Nun möchte ich u diskretisieren und wähle dafür ein äquidistantes Gitter mit Gittergröße [mm] \Delta [/mm] t und Gitterpunkten [mm] t_i. [/mm] Ich bezeichne [mm] u_h [/mm] = [mm] (u_h(t_1),...,u_h(t_n)).
[/mm]
Frage: wie hängen nun [mm] \parallel u_h \parallel_2 [/mm] und [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel_{L^2([0,T])} [/mm] zusammen?
In einer Quelle fand ich: [mm] \parallel u_h \parallel_2^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\Delta t} \parallel [/mm] u [mm] \parallel_{L^2([0,T])}^2
[/mm]
Stimmt das?
Wie muss ich Veränderungen vornehmen, wenn u [mm] \in L^2(Q) [/mm] und Q = [0,T] [mm] \times \Omega [/mm] ist, wobei [mm] \Omega [/mm] ein Gebiet in [mm] \mathbb{R}^n [/mm] ist? Die Diskretisierung im Ort muss bestimmt auch berücksichtigt werden??
Über eine Hilfe wäre ich sehr danbkar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 31.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> Meine Frage bezieht sich auf die Beziehung zwischen
> [mm]L^p-Normen[/mm] und der euklidischen Norm in [mm]\mathbb{R}^n.[/mm]
>
> Gegeben sei eine Funktion u [mm]\in L^2([0,T]),[/mm] wobei [0,T] ein
> festes Zeitintervall sein soll. Nun möchte ich u
> diskretisieren und wähle dafür ein äquidistantes Gitter
> mit Gittergröße [mm]\Delta[/mm] t und Gitterpunkten [mm]t_i.[/mm] Ich
> bezeichne [mm]u_h[/mm] = [mm](u_h(t_1),...,u_h(t_n)).[/mm]
>
> Frage: wie hängen nun [mm]\parallel u_h \parallel_2[/mm] und
> [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel_{L^2([0,T])}[/mm] zusammen?
> In einer Quelle fand ich: [mm]\parallel u_h \parallel_2^2[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\Delta t} \parallel[/mm] u [mm]\parallel_{L^2([0,T])}^2[/mm]
> Stimmt das?
Selbstverstaendlich nicht: und zwar aus zwei Gruenden. Einerseits werden in diesem Zusammenhang gerne Funktionen identifiziert, wenn sie sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, sodass Deine Funktion $u$ auf den endlich vielen Gitterpunkten beliebig abgeaendert werden kann, ohne die Norm zu aendern. Andererseits kannst Du leicht ein Gegenbeispiel angeben, indem Du etwa ein Polynom [mm] $\neq [/mm] 0$ waehlst, das in den Gitterpunkten Nullstellen hat.
Aber man kann natuerlich einen Zusammenhang zum Integral schaffen, da [mm] $\Delta t||u||_{2}^{2}= \Delta t\sum_{k=1}^{n}u_h(t_{k})^{2}$ [/mm] gilt, und dieser Term fuer eine Zerlegungsnullfolge gegen das Riemanintegral [mm] $\int_{0}^{T} u^{2}dt$ [/mm] konvergiert.
> Wie muss ich Veränderungen vornehmen, wenn u [mm]\in L^2(Q)[/mm]
> und Q = [0,T] [mm]\times \Omega[/mm] ist, wobei [mm]\Omega[/mm] ein Gebiet in
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm] ist? Die Diskretisierung im Ort muss bestimmt
> auch berücksichtigt werden??
>
> Über eine Hilfe wäre ich sehr danbkar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 So 31.08.2014 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank für die Hilfe! Das hat mich schon sehr weiter gebracht 
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