Lotfußpunkt auf Straße < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 24.06.2008 | | Autor: | paksoft |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte:
p1 = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] p2 = [mm] \vektor{6 \\ 8} [/mm] p3 = [mm] \vektor{5 \\ 4}
[/mm]
p1 und p2 sind Start- und Endpunkt einer Geraden g.
Gesucht ist der Lotfußpunkt p4 vom Punkt p3 auf der Geraden g. |
Hallo Leute,
ich habe schon viele ähnliche Beispiele zu meinem Problem gesehen, aber ich verstehe die Vorgehensweise einfach nicht.
Nachfolgende Vorgehensweise habe aus einem C++ - Code entnommen. Leider bin ich ein Mathe-Noob, so dass ich zwar den Lotpunkt erhalte, aber nicht verstehe, was passiert.
Was ich brauche, ist eine für eine Diplomarbeit mathematisch korrekte Form, wie man den Lotfußpunkt berechnet und eine Erklärung, damit ich das verstehe.
Könnt Ihr mir dieses Beispiel korrekt rechnen und ganz einfach erklären?
Vielen, vielen Dank!
Schritt (1)
[mm] \vec{a} [/mm] = p2-p1 = [mm] \vektor{6 \\ 8} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 6}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = p3-p1 = [mm] \vektor{5 \\ 4} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2}
[/mm]
Schritt (2)
c= [mm] \vec{b}²=\vektor{5 \\ 6}*\vektor{5 \\ 6} [/mm] = 61
[mm] d=\vec{b}*\vec{a}=\vektor{4 \\ 2}*\vektor{5 \\ 6} [/mm] = 32
Schritt (3)
e=61/32=0,5082
Schritt (4)
Lotfußpunkt = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + 0.5082* [mm] \vektor{5 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{3.632 \\ 5.1457}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die Punkte:
> p1 = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] p2 = [mm]\vektor{6 \\ 8}[/mm] p3 = [mm]\vektor{5 \\ 4}[/mm]
>
> p1 und p2 sind Start- und Endpunkt einer Geraden g.
> Gesucht ist der Lotfußpunkt p4 vom Punkt p3 auf der
> Geraden g.
> Hallo Leute,
>
> ich habe schon viele ähnliche Beispiele zu meinem Problem
> gesehen, aber ich verstehe die Vorgehensweise einfach
> nicht.
>
> Nachfolgende Vorgehensweise habe aus einem C++ - Code
> entnommen. Leider bin ich ein Mathe-Noob, so dass ich zwar
> den Lotpunkt erhalte, aber nicht verstehe, was passiert.
Und ich verstehe nicht recht, was du in einem C++ Code
suchst, wenn es um das Verständnis einer Frage aus der
Vektorgeometrie geht ...
> Was ich brauche, ist eine für eine Diplomarbeit
> mathematisch korrekte Form, wie man den Lotfußpunkt
> berechnet und eine Erklärung, damit ich das verstehe.
>
> Könnt Ihr mir dieses Beispiel korrekt rechnen und ganz
> einfach erklären?
>
>
> Vielen, vielen Dank!
>
> Schritt (1)
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = p2-p1 = [mm]\vektor{6 \\ 8}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{5 \\ 6}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = p3-p1 = [mm]\vektor{5 \\ 4}[/mm] -
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm]
>
> Schritt (2)
>
> c= [mm]\vec{b}²=\vektor{5 \\ 6}*\vektor{5 \\ 6}[/mm] = 61
> [mm]d=\vec{b}*\vec{a}=\vektor{4 \\ 2}*\vektor{5 \\ 6}[/mm] = 32
>
> Schritt (3)
>
> e=61/32=0,5082 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
richtig sollte dies heissen: e= 32/61 !
>
> Schritt (4)
>
> Lotfußpunkt = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] + 0.5082* [mm]\vektor{5 \\ 6}[/mm] =
> [mm]\vektor{3.632 \\ 5.1457}[/mm]
Das C++ Progrämmchen, auf das du dich berufst, verwendet die
Formel für die Projektion eines Vektors [mm] \vec{b} [/mm] auf einen Vektor [mm] \vec{a}:
[/mm]
[mm] \vec{b}_{\vec{a}} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{\vec{a}*\vec{a}}*\vec{a}
[/mm]
Was die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] in deinem Beispiel sind,
sollte klar sein.
Der Vektor [mm] \vec{b}_{\vec{a}} [/mm] ist in deinem Fall der Pfeil vo [mm] p_1 [/mm] zum
gesuchten Lotfusspunkt.
Mach dir also eine Zeichnung und mach dir klar, was in den einzelnen
Bestandteilen der Formel
[mm] \vec{b}_{\vec{a}} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{\vec{a}*\vec{a}}*\vec{a}
[/mm]
genau berechnet wird. Hinweis: Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren
ist gleich dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren, multipliziert
mit dem Cosinus ihres Zwischenwinkels.
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 24.06.2008 | | Autor: | paksoft |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für deine Antwort, Du hast mir sehr geholfen.
Ich portiere gerade eine Funktion für das Berechnen eines Referenzpunktes von einer Landmarke auf das Straßennetz einer digitalen Karte von C++ nach Java.
Deshalb habe ich den Algorithmus aus C++.
Leider ist es schon sehr lange her, als ich sowas in der Schule / Studium hatte
Warum muss ich denn bei Schritt (4) noch mal [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] hinzuaddieren?
Gruß
der Patrick
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> vielen Dank für deine Antwort, Du hast mir sehr geholfen.
> Ich portiere gerade eine Funktion für das Berechnen eines
> Referenzpunktes von einer Landmarke auf das Straßennetz
> einer digitalen Karte von C++ nach Java.
>
> Deshalb habe ich den Algorithmus aus C++.
> Leider ist es schon sehr lange her, als ich sowas in der
> Schule / Studium hatte
>
> Warum muss ich denn bei Schritt (4) noch mal [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> hinzuaddieren?
>
> Gruß der Patrick
guten Abend Patrick,
das ist eine leicht zu beantwortende Frage. Wir hatten:
"Der Vektor $ [mm] \vec{b}_{\vec{a}} [/mm] $ ist in deinem Fall der Pfeil von $ [mm] p_1 [/mm] $ zum
gesuchten Lotfusspunkt F."
Wenn du also den Fusspunkt F suchst, so ist
[mm] \vec{F} [/mm] = [mm] \vec{P_1}+\overrightarrow{P_1F}=\vec{P_1}+\vec{b}_{\vec{a}}
[/mm]
also: Endpunkt = Startpunkt + Verbindungsvektor
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Di 24.06.2008 | | Autor: | paksoft |
Danke, Al-Chwarizmi,
du bist echt der Größte!
Gruß
der Patrick
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