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| Aufgabe | | Bestimmung des Lotfußpunktes zu einem Punkt auf einer Ebene. Geg. 3 Punkt, Ebenenpunkte, Normale. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für eine Korrektur in einem Freeware-Programm benötige ich ein Verfahren, um den Lotfußpunkt eines Punktes auf einer Ebene zu bestimmen. Ich komme also vom Programmieren her. Von der Mathematik habe ich leider keine Ahnung. Ich habe drei Punkte P1,P2,P3 der Ebene in der Form (x,y,z), eine Normale N in der Form (a,b,c) und einen weiteren Punkt P0 (x1,y1,z1), dessen Lotfußpunkt ich suche. Wie berechne ich den jetzt? Allgemeinen Hinweise der Art "bestimme anhand N eine Gerade durch P0", setze deren Gleichung in die Ebenengleichung ein, bestimme ein Lambda usw. bringen mir leider gar nichts, denn ich kriege nicht mal das hin. Ich brauche die Lösung also Schritt für Schritt.
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Hi, karx,
> Bestimmung des Lotfußpunktes zu einem Punkt auf einer
> Ebene. Geg. 3 Punkt, Ebenenpunkte, Normale.
Hast Du wirklich die Normale der Ebene auch vorgegeben? Dann bräuchtest Du eigentlich gar keine 3 Punkte dieser Ebene: Einer reicht!
Angenommen die Normale ist [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Dann ergibt sich daraus die Normalenform der Ebene als
E: a*x + b*y + c*z + d = 0
mit zunächst noch unbekannter Konstante d.
Diese Konstante ermittelst Du, indem Du einen der drei Punkte der Ebene einsetzt. (Wenn die drei Punkte wirklich in der Ebene drinliegen und der Normalenvektor auch richtig ist, dann kommt bei allen drei Punkten dasselbe d raus!)
Nächster Schritt: Die Gerade h durch den weiteren Punkt [mm] P_{0}(x_{1}; y_{1}; z_{1}), [/mm] wobei h senkrecht auf der Ebene E steht:
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Nun setzt Du h in die Ebene E ein
(also: für x setzt Du [mm] x_{1}+\lambda*a [/mm] ;
für y setzt Du [mm] y_{1}+\lambda*b [/mm] ;
für z setzt Du [mm] z_{1}+\lambda*c. [/mm] )
und löst nach [mm] \lambda [/mm] auf.
Wenn Du den für [mm] \lambda [/mm] erhaltenen Wert in die Geradengleichung von h einsetzt, hast Du den Lotfußpunkt!
Klar soweit?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 So 29.01.2006 | | Autor: | karx11erx |
Vielen herzlichen Dank!
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