Lot vom Punkt zur Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | oxy |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Lot vom Punkt P(6,1,7) auf die Gerade g: x=(2,1,-1) + [mm] \lambda [/mm] (2,-1,1) liegt! |
Hi,
die Frage die ich mir stelle ist, ob das Lot, welches ich bestimmen soll einen Vektor oder einen Zahlenwert ergibt?
Ich habe versucht mittles der Formel für den Lotfußpunkt an das Ergebnis zu kommen, allerdings bekomme ich nur einen Zahlenwert raus und der ist auch noch sehr krumm -(15/4).
Das Problem ist, dass ich nicht auf den Ansatz für diese Aufgabe komme.
Grüße oxY
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie das Lot vom Punkt P(6,1,7) auf die Gerade g:
> x=(2,1,-1) + [mm]\lambda[/mm] (2,-1,1) liegt!
> Hi,
>
Hey,
> die Frage die ich mir stelle ist, ob das Lot, welches ich
> bestimmen soll einen Vektor oder einen Zahlenwert ergibt?
Ein Lot ist ein Vektor.
> Ich habe versucht mittles der Formel für den Lotfußpunkt
> an das Ergebnis zu kommen,
Welche Formel hast du denn benutzt? Wenn du uns die angibts, ist es leichter den Fehler zu finden.
> allerdings bekomme ich nur einen
> Zahlenwert raus und der ist auch noch sehr krumm -(15/4).
Wie war denn dein letzter Rechenschritt? Hast du evtl. die Länge von einem Vektor berechnet? Das wäre dann nämlich überflüssig.
> Das Problem ist, dass ich nicht auf den Ansatz für diese
> Aufgabe komme.
>
> Grüße oxY
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Sa 24.11.2007 | | Autor: | oxy |
Mein Formel zum Lotfußpunkt ist:
Punkt P auf Gerade G:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda \vec{b}, [/mm]
[mm] \lambda= \bruch {(\vec{p} - \vec{a}) * \vec{b}} {|\vec{b}|²}
[/mm]
Das wird aber der falsche Ansatz sein, wenn das Lot ein Vektor sein muss!
Mein Idee ist die, ich brauche eine Senkrechte auf der Geraden, also das Lot. Ein Vektor der auf g senkreckt ist und durch den Punkt P geht. Allerdings fehlt mir der Ansatz zu meiner Idee.
Ich weiß ja nur die Richtung der Geraden, also müsste ja der Richtungsvektor der Geraden * Vektor zum Punkt P = 0 sein.
Wie aber komme ich auf den Vektor zu Punkt P?
Gruß oxY
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
stelle dir einen beliebigen "Punkt" vor, der auf der Geraden liegt. Den kannst du mit Hilfe deiner allgemienen Geradengleichung beschrieben.
Dann kannst du den Verbindungsvektor von deinem allgemeinen Punkt zu deinem vorgegeben Punkt errechnen.
Nun, was weist du über das Skalarprodukt von zwei Vkeotren, die senkrecht aufeinande stehen?
Damit dann der Verbindungsvektor das Lot auf deiner Geraden ist, worauf muss dann der Verbindungsvektor senkrecht stehen?
Wenn du diese Fragen benatworten kannst, hast du eigentlich schon die Lösung.
LG
KRoni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Sa 24.11.2007 | | Autor: | oxy |
Hi,
okay dann nehme ich den Punkt [mm] x_{b} [/mm] für beliebig: (3,-3,2)?, der liegt auf der Geraden. Verbindungsvektor heißt Spitze(P) - Fuß ()?
In dem Fall wäre das (6,1,7) - (3,-3,2) = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 5} [/mm] ?
> Nun, was weist du über das Skalarprodukt von zwei
> Vkeotren, die senkrecht aufeinande stehen?
Das Skalarprodukt muss 0 ergeben. Wenn das der Fall ist stehen sie senkrecht aufeinander.
a [mm] \perp [/mm] b = 0 [mm] \gdw [/mm] a * b = 0
> Damit dann der Verbindungsvektor das Lot auf deiner Geraden ist,
> worauf muss dann der Verbindungsvektor senkrecht stehen?
Senkrecht auf der Geraden g!
Das heißt mein Vektor [mm] \vec{x_{b}} [/mm] * ? = 0
Muss ich dann für das ? den Richtungsvektor der Geraden einsetzen?
Gruß oxY
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, du musst für deinen beliebigen Vektor den Vektor [mm] $\pmat{2+2\lambda\\1-1\lambda\\-1+1\lambda}$ [/mm] wählen. Denn das sind ja alle Punkte, die auf der Geraden liegen. Dann bildest du mit diesem Vektor den Verbidungsvektor zu deinem Punkt P. Dann bildest du das Skalarprodukt richtigerweise, wie du schon sagtest, von dem Verbindungsvektor mit dem Richtungsvektor der Geraden, und das muss dann Null sein. Daraus kannst du dann [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Sa 24.11.2007 | | Autor: | oxy |
Das was ich aus dem Skalar herrausbekomme für [mm] \lambda [/mm] muss ich ja dann in dem beliebigen Vektor einsetzen, oder?
Wenn ich das mit Zahlen fülle kommt dies raus:
Für den beliebigen Vektor habe ich dann raus:
Punkt P - g
[mm] \vektor{4 + \lambda \\ -2 \lambda \\ 8 + 3 \lambda}
[/mm]
Skalar multipliziert mit dem Richtungsvektor (1,-2,3) ergibt das:
[mm] 14\lambda [/mm] = 25 [mm] \Rightarrow \bruch{25}{14}
[/mm]
Ab hier habe ich dann aufgehört, weil ich denke, dass ein Bruch als Zwischenergebnis schon falsch ist...... Wenn müsste ich es ja jetzt das [mm] \lambda [/mm] in den Vektor zwischen P und der Geraden einsetzen, oder?
Gruß oxY
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> Das was ich aus dem Skalar herrausbekomme für [mm]\lambda[/mm] muss
> ich ja dann in dem beliebigen Vektor einsetzen, oder?
Hi,
ja, das stimmt.
> Wenn ich das mit Zahlen fülle kommt dies raus:
>
> Für den beliebigen Vektor habe ich dann raus:
> Punkt P - g
> [mm]\vektor{4 + \lambda \\ -2 \lambda \\ 8 + 3 \lambda}[/mm]
Da musst du dich irgendwo verrechnet haben. Ich bekomme bei m Subtrahieren der beien Vektoren das raus:
[mm] $\pmat{-4+2\lambda\\-\lambda\\-8+\lambda}$
[/mm]
>
> Skalar multipliziert mit dem Richtungsvektor (1,-2,3)
> ergibt das:
Der Richtungsvektor ist aber nicht der, den du in deiner Aufgabe angegeben hast?!
> [mm]14\lambda[/mm] = 25 [mm]\Rightarrow \bruch{25}{14}[/mm]
>
> Ab hier habe ich dann aufgehört, weil ich denke, dass ein
> Bruch als Zwischenergebnis schon falsch ist...... Wenn
> müsste ich es ja jetzt das [mm]\lambda[/mm] in den Vektor zwischen P
> und der Geraden einsetzen, oder?
Ja, das müsstest du!
>
> Gruß oxY
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 24.11.2007 | | Autor: | oxy |
Achje, entschuldigung, ich habs falsch abgeschrieben.
Die Gerade g ist: [mm] \vec{x} [/mm] = (2,1,-1) + [mm] \lambda(1-2,3)
[/mm]
Dann ist mein Richtungsvektor ja 1,-2,3 und meine Rechnung wird wohl stimmen..... :/
Gruß oxY
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