Lokale Umkehrbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Es sei [mm] $E=\IR^2 \backslash [/mm] {(0,0)}$ die gelochte Ebene und
[mm] $f:E\rightarrow [/mm] E, (x,y) [mm] \mapsto f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\vektor{x \\ y}$.
[/mm]
In welchen Punkten ist $f$ lokal umkehrbar? Wie lautet die Umkehrfunktion? |
Hallo,
ich war letzte Woche krank und konnte mir die die Vorlesung dazu noch nicht besorgen und habe deshalb ein paar Fragen.
Habe im Internet gesehen das für den Satz der lokalen Umkehrbarkeit gilt:
- f ist stetig differenzierbar
- die Funktionalmatrix ist invertierbar
- die Abbildung ist bijektiv
Stimmt das so?
Wollte die Funktion partiell Ableiten um die Funktionalmatrix aufzustellen aber ich weiß nicht so richtig wie ich die Funktion interpretieren soll wenn der Vektor noch dahintersteht.
Leite ich nur die Funktion [mm] $\frac{1}{x^2+y^2}$ [/mm] ab? Bin mir nicht sicher was ich mit dem Vektor am Ende machen soll.
Danke schonmal für Hilfe.
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Hallo Trolli,
> Es sei [mm]E=\IR^2 \backslash {(0,0)}[/mm] die gelochte Ebene und
> [mm]f:E\rightarrow E, (x,y) \mapsto f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\vektor{x \\ y}[/mm].
>
> In welchen Punkten ist [mm]f[/mm] lokal umkehrbar? Wie lautet die
> Umkehrfunktion?
> Hallo,
> ich war letzte Woche krank und konnte mir die die
> Vorlesung dazu noch nicht besorgen und habe deshalb ein
> paar Fragen.
>
> Habe im Internet gesehen das für den Satz der lokalen
> Umkehrbarkeit gilt:
> - f ist stetig differenzierbar
> - die Funktionalmatrix ist invertierbar
> - die Abbildung ist bijektiv
> Stimmt das so?
>
Ja.
> Wollte die Funktion partiell Ableiten um die
> Funktionalmatrix aufzustellen aber ich weiß nicht so
> richtig wie ich die Funktion interpretieren soll wenn der
> Vektor noch dahintersteht.
> Leite ich nur die Funktion [mm]\frac{1}{x^2+y^2}[/mm] ab? Bin mir
> nicht sicher was ich mit dem Vektor am Ende machen soll.
>
Den Vektor musst Du natürlich auch ableiten.
> Danke schonmal für Hilfe.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Trolli |
Aber ich darf ja bestimmt nicht beides einzeln ableiten.
Ableitung vom Bruch wäre nach x:
[mm] $\frac{-2x}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
und nach y:
[mm] $\frac{-2y}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
beim vektor [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
Man müsste ja bestimmt Produktregel anwenden.
Oder ist [mm] $\frac{1}{x^2+y^2}\vektor{x \\ y}=\vektor{\frac{x}{x^2+y^2} \\ \frac{y}{x^2+y^2}}$ [/mm] und davon bilde ich die Ableitungen?
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Hallo Trolli,
> Aber ich darf ja bestimmt nicht beides einzeln ableiten.
Das hast Du richtig erkannt.
> Ableitung vom Bruch wäre nach x:
> [mm]\frac{-2x}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> und nach y:
> [mm]\frac{-2y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> beim vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Man müsste ja bestimmt Produktregel anwenden.
>
Richtig.
> Oder ist [mm]\frac{1}{x^2+y^2}\vektor{x \\ y}=\vektor{\frac{x}{x^2+y^2} \\ \frac{y}{x^2+y^2}}[/mm]
> und davon bilde ich die Ableitungen?
Das ist ebenfalls richtig.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Trolli |
[mm] $f_1=\frac{x}{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $f_2=\frac{y}{x^2+y^2}$
[/mm]
Hier mal die Ableitungen:
[mm] \frac{\delta f_1}{\delta x}=\frac{(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\ [/mm] \ \ [mm] \frac{\delta f_1}{\delta y}=\frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \frac{\delta f_2}{\delta x}=\frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2}\ [/mm] \ \ [mm] \frac{\delta f_2}{\delta y}=\frac{(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die partiellen Ableitungen sind stetig also ist f stetig differnzierbar im [mm] \IR^2
[/mm]
Die Funktionalmatrix:
[mm] $Df(x,y)=\pmat{\frac{(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} & \frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2} \\ \frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2} & \frac{(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} }$
[/mm]
Und die Determinate:
[mm] $=\frac{-1}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Determinate [mm] \not= [/mm] 0 für [mm] \IR^2 \backslash [/mm] (0,0) also invertierbar
Alles ok soweit?
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
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Hallo Trolli,
> [mm]f_1=\frac{x}{x^2+y^2}[/mm]
> [mm]f_2=\frac{y}{x^2+y^2}[/mm]
>
> Hier mal die Ableitungen:
>
> [mm]\frac{\delta f_1}{\delta x}=\frac{(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\[/mm]
> \ \ [mm]\frac{\delta f_1}{\delta y}=\frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f_2}{\delta x}=\frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2}\[/mm] \ \
> [mm]\frac{\delta f_2}{\delta y}=\frac{(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] die partiellen Ableitungen sind stetig also ist
> f stetig differnzierbar im [mm]\IR^2[/mm]
>
> Die Funktionalmatrix:
> [mm]Df(x,y)=\pmat{\frac{(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} & \frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2} \\ \frac{(-2xy)}{(x^2+y^2)^2} & \frac{(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} }[/mm]
>
> Und die Determinate:
> [mm]=\frac{-1}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Determinate [mm]\not=[/mm] 0 für [mm]\IR^2 \backslash[/mm] (0,0)
> also invertierbar
>
> Alles ok soweit?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Jetzt mußt Du die Umkehrfunktion bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Trolli |
Mein Ansatz:
[mm] $u=\frac{x}{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $v=\frac{y}{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $u=\frac{x}{x^2+y^2} \Leftrightarrow u*x^2+u*y^2=x \Leftrightarrow u*y^2=x-u*x^2 \Leftrightarrow y=\pm\wurzel{\frac{x-u*x^2}{u}}$
[/mm]
Das habe ich dann in v eingesetzt aber bekomme nichts gescheites bei raus :(
Jetzt komme ich leider nicht weiter :(
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Hallo Trolli,
> Mein Ansatz:
>
> [mm]u=\frac{x}{x^2+y^2}[/mm]
> [mm]v=\frac{y}{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]u=\frac{x}{x^2+y^2} \Leftrightarrow u*x^2+u*y^2=x \Leftrightarrow u*y^2=x-u*x^2 \Leftrightarrow y=\pm\wurzel{\frac{x-u*x^2}{u}}[/mm]
>
> Das habe ich dann in v eingesetzt aber bekomme nichts
> gescheites bei raus :(
> Jetzt komme ich leider nicht weiter :(
Quadriere und addiere die beiden erwähnten Gleichungen.
Setze dann diese Erkenntnis in die Gleichungen ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Trolli |
> Hallo Trolli,
>
> > Mein Ansatz:
> >
> > [mm]u=\frac{x}{x^2+y^2}[/mm]
> > [mm]v=\frac{y}{x^2+y^2}[/mm]
> >
> > [mm]u=\frac{x}{x^2+y^2} \Leftrightarrow u*x^2+u*y^2=x \Leftrightarrow u*y^2=x-u*x^2 \Leftrightarrow y=\pm\wurzel{\frac{x-u*x^2}{u}}[/mm]
>
> >
> > Das habe ich dann in v eingesetzt aber bekomme nichts
> > gescheites bei raus :(
> > Jetzt komme ich leider nicht weiter :(
>
>
> Quadriere und addiere die beiden erwähnten Gleichungen.
>
> Setze dann diese Erkenntnis in die Gleichungen ein.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
[mm] $u^2+v^2=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{1}{x^2+y^2} \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{u^2+v^2}-y^2}$
[/mm]
[mm] $v=\frac{y}{\frac{1}{u^2+v^2}-y^2+y^2}=\frac{y}{\frac{1}{u^2+v^2}} \Rightarrow y=\frac{v}{u^2+v^2}$
[/mm]
Jetzt wollte ich das in u einsetzen und nach x umstellen aber da komme ich wieder nur auf Blödsinn. Ich denke es wird [mm] $x=\frac{u}{u^2+v^2}$ [/mm] rauskommen aber ich komme nicht drauf.
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Hallo Trolli,
> > Hallo Trolli,
> >
> > > Mein Ansatz:
> > >
> > > [mm]u=\frac{x}{x^2+y^2}[/mm]
> > > [mm]v=\frac{y}{x^2+y^2}[/mm]
> > >
> > > [mm]u=\frac{x}{x^2+y^2} \Leftrightarrow u*x^2+u*y^2=x \Leftrightarrow u*y^2=x-u*x^2 \Leftrightarrow y=\pm\wurzel{\frac{x-u*x^2}{u}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das habe ich dann in v eingesetzt aber bekomme nichts
> > > gescheites bei raus :(
> > > Jetzt komme ich leider nicht weiter :(
> >
> >
> > Quadriere und addiere die beiden erwähnten Gleichungen.
> >
> > Setze dann diese Erkenntnis in die Gleichungen ein.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
>
> [mm]u^2+v^2=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{1}{x^2+y^2} \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{u^2+v^2}-y^2}[/mm]
>
> [mm]v=\frac{y}{\frac{1}{u^2+v^2}-y^2+y^2}=\frac{y}{\frac{1}{u^2+v^2}} \Rightarrow y=\frac{v}{u^2+v^2}[/mm]
>
> Jetzt wollte ich das in u einsetzen und nach x umstellen
> aber da komme ich wieder nur auf Blödsinn. Ich denke es
> wird [mm]x=\frac{u}{u^2+v^2}[/mm] rauskommen aber ich komme nicht
> drauf.
Es folgt doch zunächst: [mm]u^{2}+v^{2}=\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Wird dieses in die Gleichungen eingesetz, so folgt doch
[mm]u=\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow u=x*\left(u^{2}+v^{2}\right)[/mm]
bzw.
[mm]v=\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow v=y*\left(u^{2}+v^{2}\right)[/mm]
Auflösen nach x bzw. y liefert das gewünschte.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Trolli |
Vielen Dank für die Hilfe.
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