Lokale Extrema mit Bedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe |
Seien [mm] p_{1},p_{2},p_{3} \in \IR_{>0}: \{x \in \IR | x > 0\} [/mm] mit [mm] p_{1}+p_{2}+p_{3} [/mm] = 1
Betrachten Sie die Funktionen
[mm] f:\IR^{3}_{>0} [/mm] := [mm] \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3}} \in \IR^{3} | x_{1}>0,x_{2}>0,x_{3}>0\} \to \IR
[/mm]
[mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \mapsto x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}x_{3}^{p_{3}}
[/mm]
und
[mm] g:\IR^{3}_{>0} \to \IR, (x_{1},x_{2},x_{3}) \mapsto p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+p_{3}x_{3}-1.
[/mm]
Berechnen Sie die lokalen Extrema von unter der Nebenbedingung g(x)=0. |
Hallo,
bin zur Zeit in Vorbereitung auf eine Klausur und obige Aufgabe lässt mich verzweifeln.
"Normale" Aufgaben zu diesem Thema sind ja kein Problem, aber bei dieser hier, komme ich überhaupt zu keiner Idee.
Ich denke mal, dass ich hier auf irgendeine Weise mit der Methode nach Lagrange zu Werke gehen muss, aber wie, da hängt es.
Es sind einfach "zu viele" Bedingungen vorhanden.
Wäre toll, wenn jemand Licht ins Dunkle bringen könnte.
Gruß Chiro
P.S. Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Tag,
stell doch die Lagrange-Funktion
[mm] F(x,\lambda)=F(x_1,x_2,x_3,\lambda)=f(x)-\lambda\cdot [/mm] g(x)
auf und loese das LGS
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)-\lambda\cdot \frac{\partial g}{\partial x_i}(x)=0
[/mm]
Also:
[mm] p_1\cdot x_1^{p_1-1}x_2^{p_2}x_3^{p_3}=\lambda\cdot p_1
[/mm]
[mm] p_2\cdot x_1^{p_1}x_2^{p_2-1}x_3^{p_3}=\lambda\cdot p_2
[/mm]
[mm] p_3\cdot x_1^{p_1}x_2^{p_2}x_3^{p_3-1}=\lambda\cdot p_3
[/mm]
Dann die p's jeweils kuerzen, und dann kann man einiges gleichsetzen, oder ?
Probier es doch mal aus, ich hab's nicht zuende gerechnet, sonst frag nochmal nach.
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
