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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Lokale Extrema bestimmen
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Lokale Extrema bestimmen: Nicht sicher ob richtig ....
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Fr 27.02.2009
Autor: Tobias2k

Aufgabe
Bestimmen Sie (lokale) Extrema der Funktion:

[mm] f(x)=x^2*e^{-x} [/mm]

Notwendige Bedingung für einen Extremwert an der Stelle
f'(x)=0


Erste Ableitung der Funktion bestimmen.
[mm] u=x^2==>u'=2x [/mm]
[mm] v=e^{-x} [/mm] ==> [mm] v'=-e^{-x} [/mm]

[mm] f'(x)=2x*e^{-x}-e^{-x}*x^2 [/mm]


[mm] e^{-x} [/mm] ausklammern.

[mm] f'(x)=e^{-x}(2x*1-1*x^2) [/mm]
[mm] f'(x)=e^{-x}(2x-x^2) [/mm]

f'(x)=0
[mm] e^{-x}(2x-x^2 [/mm] )=0

[mm] e^{-x} [/mm] kann niemals 0 werden. Sollte der Wert in der Klammer 0 werden ist das Ergebnis auch gleich 0.

[mm] (2x-x^2 [/mm] )=0
[mm] 2x=x^2 [/mm]
2=x



Zweite Ableitung der Funktion bestimmen.

[mm] f'(x)=e^{-x}(2x-x^2) [/mm]

[mm] u=2x-x^2==>u'=2-2x [/mm]
[mm] v=e^{-x}==>v'=-e^{-x} [/mm]

[mm] f''(x)=-e^{-x}*2x-x^2+2-2x*e^{-x} [/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-1*2x-x^2+2-2x*1) [/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-2x+x^2+2-2x) [/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-4x+x^2+2) [/mm]


Hinreichende Bedingung für Extremwert an der Stelle x:
f''(x) >0 Minimum an x
f''(x) <0 Maximum an x

[mm] f''(2)=e^{-2}*(-4*2+2^2+2) [/mm]
f''(2)=-0,27


Maximum bei (2|0)

Irgendwie sieht es so aus als hätte ich einen Fehler gemacht? Seht ihr evtl etwas?

MFG Tobias


        
Bezug
Lokale Extrema bestimmen: Lösung unterschlagen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Fr 27.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Tobias!


> Erste Ableitung der Funktion bestimmen.
>  
> [mm]f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)[/mm]

[ok]

  

> f'(x)=0
> [mm]e^{-x}(2x-x^2[/mm] )=0
>  
> [mm]e^{-x}[/mm] kann niemals 0 werden. Sollte der Wert in der
> Klammer 0 werden ist das Ergebnis auch gleich 0.

[ok]

  

> [mm](2x-x^2[/mm] )=0
> [mm]2x=x^2[/mm]
> 2=x

[stop]
Hier hast Du eine weitere Lösung mit $x \ = \ 0$ unterschlagen, indem Du (ohne nachzudenken?) durch $x_$ geteilt hast.


> Zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
>  
> [mm]f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)[/mm]
>  
> [mm]u=2x-x^2==>u'=2-2x[/mm]
> [mm]v=e^{-x}==>v'=-e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=-e^{-x}*2x-x^2+2-2x*e^{-x}[/mm]

Klammern setzen!!


> [mm]f''(x)=e^{-x}*(-1*2x-x^2+2-2x*1)[/mm]

Auch hier fehlen Klammern!


> [mm]f''(x)=e^{-x}*(-2x+x^2+2-2x)[/mm]
> [mm]f''(x)=e^{-x}*(-4x+x^2+2)[/mm]

Erstaunlicherweise stimmt die 2. Ableitung dann doch.



> [mm]f''(2)=e^{-2}*(-4*2+2^2+2)[/mm]
> f''(2)=-0,27

[ok]


> Maximum bei (2|0)

[notok] Wie kommst Du auf diesen Funktionswert?

  
Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Lokale Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Fr 27.02.2009
Autor: Tobias2k


> Hallo Tobias!
>  
>
> > Erste Ableitung der Funktion bestimmen.
>  >  
> > [mm]f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)[/mm]
>  
> [ok]
>  
>
> > f'(x)=0
>  > [mm]e^{-x}(2x-x^2[/mm] )=0

>  >  
> > [mm]e^{-x}[/mm] kann niemals 0 werden. Sollte der Wert in der
> > Klammer 0 werden ist das Ergebnis auch gleich 0.
>  
> [ok]
>  
>
> > [mm](2x-x^2[/mm] )=0
>  > [mm]2x=x^2[/mm]

>  > 2=x

>  
> [stop]
>  Hier hast Du eine weitere Lösung mit [mm]x \ = \ 0[/mm]
> unterschlagen, indem Du (ohne nachzudenken?) durch [mm]x_[/mm]
> geteilt hast.
>  
>
> > Zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
>  >  
> > [mm]f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)[/mm]
>  >  
> > [mm]u=2x-x^2==>u'=2-2x[/mm]
>  > [mm]v=e^{-x}==>v'=-e^{-x}[/mm]

>  >  
> > [mm]f''(x)=-e^{-x}*2x-x^2+2-2x*e^{-x}[/mm]
>  
> Klammern setzen!!
>  
>
> > [mm]f''(x)=e^{-x}*(-1*2x-x^2+2-2x*1)[/mm]
>  
> Auch hier fehlen Klammern!
>  
>
> > [mm]f''(x)=e^{-x}*(-2x+x^2+2-2x)[/mm]
>  > [mm]f''(x)=e^{-x}*(-4x+x^2+2)[/mm]

>  
> Erstaunlicherweise stimmt die 2. Ableitung dann doch.
>  
>
>
> > [mm]f''(2)=e^{-2}*(-4*2+2^2+2)[/mm]
>  > f''(2)=-0,27

>  
> [ok]
>  
>
> > Maximum bei (2|0)
>  
> [notok] Wie kommst Du auf diesen Funktionswert?
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Hallo Loddar,

Erstmal Danke für deine Antworten!

Stimmt Klammern hätte ich setzen müssen :-)

Muss ich jetzt noch die 0 die in zweite Ableitung einsetzen?

Wie komme ich genau an die Punkte des Maximums?

LG Tobias

Bezug
                        
Bezug
Lokale Extrema bestimmen: einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Fr 27.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Tobias!


> Muss ich jetzt noch die 0 die in zweite Ableitung einsetzen?

[ok] Ja.

  

> Wie komme ich genau an die Punkte des Maximums?

Du meinst den Funktionswert? Setze den x-Wert $x \ = \ 2$ (und auch $x \ = \ 0$) in die Ausgangsfunktion $f(x) \ = \ [mm] x^2*e^{-x}$ [/mm] ein.


Gruß
Loddar


Bezug
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