Lokale Extrema (Exponetia)l < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
| Aufgabe | | Bestimmen SIe alle lokalen Extrema der Funktion! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich komme leider bei dieser Augabe leider nur bis zur folgenden Stelle:
gradf= [mm] f_x=y(e^{-x^2-y^2} [/mm] + [mm] x*e^{-x^2-y^2}(-2x))
[/mm]
[mm] =y(e^{-x^2-y^2}(1-2x^2))
[/mm]
[mm] f_y= x(e^{-x^2-y^2} [/mm] + [mm] y*e^{-x^2-y^2}(-2y))
[/mm]
= [mm] x(e^{-x^2-y^2}(1-2y^2))
[/mm]
Nach der Formel für Extrema für mehrere Veränderlicher gilt:
[mm] \begin{pmatrix} y(e^{-x^2-y^2}(1-2x^2)) \\ x(e^{-x^2-y^2}(1-2y^2)) \\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}
[/mm]
Ab da weiss ich jetzt nicht genau, wie ich nun x und y genau ausrechnen muss. Ich habe zwar folgendes angewandt: eines der Produkte = 0 setzten , habe aber schwierigkeiten mit dem Exponentialausdruck.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Ich komme wirklich nicht mehr weiter an der Stelle.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mo 14.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo noidea,
> eines der Produkte = 0 setzten , habe aber schwierigkeiten
> mit dem Exponentialausdruck.
Dann hilft Dir vermutlich schon der Hinweis, dass immer gilt: [mm] $e^x [/mm] > 0$ oder anders ausgedrückt: e hoch irgendwas wird nie gleich null. Du kannst also einfach z.B. unbesorgt dadurch teilen und den Exponenten schlicht ignorieren.
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo ardik!
Ich hätte dann ja folgendes stehen :
[mm] \bruch{y}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2x^2)=0
[/mm]
und
[mm] \bruch{x}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2y^2)=0
[/mm]
Genau ab hier komme ich ja nicht weiter. Auch wenn ich die exponenten ignorieren würde , weiss ich nicht wie der nächste schritt ist.
kannst du mir einen Tipp geben?
Gruß
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:31 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich hätte dann ja folgendes stehen :
> [mm]\bruch{y}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2x^2)=0[/mm]
> und
> [mm]\bruch{x}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2y^2)=0[/mm]
Jetzt hast du zweimal dadurch geteilt. Wenn du es nur einmal teilst (oder das hier wieder mit [mm] $e^{-x^2-y^2}$ [/mm] multiplizierst), erhaelst du
> [mm]y * (1-2x^2)=0[/mm]
> und
> [mm]x * (1-2y^2)=0[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Geht das denn ohne weiteres?
Naja, ich meine das ist für manch einen glaube ich recht trivial . Nur habe ich bis jetzt mit soetwas noch nicht gerechnet. :O)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geht das denn ohne weiteres?
Ja, das geht! Schliesslich ist [mm] $e^{-x^2-y^2}$ [/mm] immer [mm] $\neq [/mm] 0$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo Felix!
Vielen dank für die schnelle Antwort !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Ich hätte zum schluss eine Frage :
Ma hat ja nun folgende GLeichungen :
[mm]y * (1-2x^2)=0[/mm] (1.Gleichung)
> und
> [mm]x * (1-2y^2)=0[/mm] (2.Gleichung)
für [mm] x_{1,2}={\pm\bruch{1}\wurzel{2}} [/mm]
erhalte für [mm] x_1={\bruch{1}\wurzel{2}} [/mm] ( in die 2. Gleichung eingesetzt)
[mm] y={\pm\bruch{1}\wurzel{2}} [/mm]
Heisst das, dass x an dieser stelle zwei y-werte hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 14.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo noidea,
> Man hat ja nun folgende GLeichungen :
> [mm]y * (1-2x^2)=0[/mm] (1.Gleichung)
> und
> [mm]x * (1-2y^2)=0[/mm] (2.Gleichung)
>
> für [mm]x_{1,2}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> erhalte für [mm]x_1=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ( in die 2. Gleichung
> eingesetzt)
> [mm]y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Heisst das, dass x an dieser stelle zwei y-werte hat?
Mnjah...
Zunächst sprachlich: x hat nie irgendwelche y-Werte. Allenfalls gibt es zu einem x(-Wert) irgendwelche y-Werte...
Denk an die ursprüngliche Problemstellung:
Wo kann ein Extremum vorliegen? Also wo ("wann"), für welche Kombinantion(en) von x und y werden beide Gleichungen erfüllt?
Die erste Gleichung wird - z.B.! - durch Dein [mm] $x_{1,2}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] erfüllt. Ausgehend von diesem Werten für x wird die zweite Gleichung durch [mm] $y_{1,2}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] erfüllt.
Also können Extremstellen an allen vier Punkten vorliegen, die sich aus diesen Koordinaten ergeben.
Aber übersieh nicht, dass Gl. 1 auch durch [mm] $x_3 [/mm] = 0$ erfüllt wird, und dann muss auch [mm] $y_3 [/mm] = 0$ sein.
Also noch ein fünfter Punkt.
Zum Schluss sei noch erwähnt, dass diese Punkte erstmal nur "kritische Punkte" sind, also Punkte mit waagerechter Tangentialebene. Das können natürlich auch Sattelpunkte etc. sein.
Die Untersuchung, ob es wirklich Extrema sind, und welche (Max? Min?) steht also noch aus. (Stichwort z.B.: Hesse-Matrix).
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo ardik!
Danke für die schnelle Reaktion und ausführliche Erklärung!
Habe es nun verstanden!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
> Hallo!
>
> > Ich hätte dann ja folgendes stehen :
> > [mm]\bruch{y}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2x^2)=0[/mm]
> > und
> > [mm]\bruch{x}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2y^2)=0[/mm]
>
Es ist mir aufgefallen , dass diese umformung nicht rihtig ist . Es müsste folgendes stehen:
> [mm]\bruch{y}{e^{-(x^2+y^2)}} *(1-2x^2)=0[/mm]
> und
> [mm]\bruch{x}{e^-{(x^2+y^2)}} *(1-2y^2)=0[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mo 14.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Sorry, aber das ist auch falsch!! :o)
Es muss folgendes stehen:
> >
> > > Ich hätte dann ja folgendes stehen :
> > > [mm]\bruch{y}{e^{x^2+y^2}} *(1-2x^2)=0[/mm]
> > > und
> > > [mm]\bruch{x}{e^{x^2+y^2}} *(1-2y^2)=0[/mm]
> >
Jetzt müsste es stimmen. :O)
LG
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