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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 22.07.2009 | | Autor: | DasDogma |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f(x,y)=exp(x^2+y^2)-4x^2-4y^2, (x,y)\in\IR^2 [/mm] sei vorgelegt.
(a) Bestimmen Sie die Menge K der Kritischen Punkte von [mm] f[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als erstes habe ich die Funktion abgeleitet:
[mm]f_x(x,y)=2xe^{x^2+y^2}-8x,\quad f_y(x,y)=2ye^{x^2+y^2}-8y[/mm]
Somit habe ich dann auch den Gradienten aufgestellt. Nun musste ich die Bedingung [mm]grad\ f(x,y)=0[/mm] lösen.
[mm]2xe^{x^2+y^2}-8x=0\Rightarrow e^{x^2+y^2}=4\Rightarrow x^2+y^2=ln 4 [/mm]
Das habe ich dann in die zweite Ableitung eingesetzt:
[mm]2ye^{ln4}=8y\Rightarrow 8y=8y\Rightarrow 1=1[/mm]
So da wären wir bei meinem Problem. Ich hab keine Ahnung wie ich nun weiter kommen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Schon mal vielen Dank.
MfG,
DasDogma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mi 22.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion [mm]f(x,y)=exp(x^2+y^2)-4x^2-4y^2, (x,y)\in\IR^2[/mm]
> sei vorgelegt.
>
> (a) Bestimmen Sie die Menge K der Kritischen Punkte von [mm]f[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Als erstes habe ich die Funktion abgeleitet:
>
> [mm]f_x(x,y)=2xe^{x^2+y^2}-8x,\quad f_y(x,y)=2ye^{x^2+y^2}-8y[/mm]
Hallo,
ich würde hier allerdings etwas unkonventionell vorgehen und [mm] x^2+y^2=u [/mm] substituieren. (Auf jedem Kreis um (0|0) sind sämtliche Funktionswerte untereinander gleich).
Dann musst du erstmal nur [mm] f(u)=e^u-4u [/mm] untersuchen.
Gruß Abakus
>
> Somit habe ich dann auch den Gradienten aufgestellt. Nun
> musste ich die Bedingung [mm]grad\ f(x,y)=0[/mm] lösen.
>
> [mm]2xe^{x^2+y^2}-8x=0\Rightarrow e^{x^2+y^2}=4\Rightarrow x^2+y^2=ln 4[/mm]
Hallo, hier hast du die Möglichkeit x=0 unterschlagen.
>
> Das habe ich dann in die zweite Ableitung eingesetzt:
>
> [mm]2ye^{ln4}=8y\Rightarrow 8y=8y\Rightarrow 1=1[/mm]
>
> So da wären wir bei meinem Problem. Ich hab keine Ahnung
> wie ich nun weiter kommen soll.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Schon mal vielen Dank.
>
> MfG,
> DasDogma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 22.07.2009 | | Autor: | DasDogma |
Danke für die schnelle Reaktion.
Also ich habe jetzt von [mm]f(u)=e^u-4u[/mm] die Ableitung bestimmt. [mm]f'(u)=e^u-4[/mm]. Der Punkt den ich hierbei berechnet habe ist: [mm] u=ln4[/mm].
Das ganze rücksubstituiert wäre dann: [mm]x^2+y^2=ln4[/mm].
Aber nun wäre ich doch wieder beim Ausgangsproblem, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Du mußt das folgende gleichungssystem lösen:
(I) [mm] $x(e^{x^2+y^2}-4) [/mm] = 0$
(II) [mm] $y(e^{x^2+y^2}-4) [/mm] = 0$
Klar dürfte sein, dass (0,0) ein kritischer Punkt ist.
Ist x [mm] \not=0 [/mm] oder y [mm] \not=0, [/mm] so folgt aus (I) oder (II):
[mm] $x^2+y^2 [/mm] = ln(4)$
Kritische Punkt hast Du also im Ursprung und auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius [mm] \wurzel{ln(4)}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 22.07.2009 | | Autor: | DasDogma |
Okay ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
Ich danke Euch.
Gruß,
DasDogma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
Dann stelle bitte auf "beantwortet"
FRED
>
> Ich danke Euch.
>
> Gruß,
> DasDogma
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