Lokale Beschränktheit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man gebe einen metrischen Raum (X,d) sowie eine lokal beschränkte Abbildung f:X [mm] \to \IR [/mm] an, die nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt ist. Man gebe außerdem eine Abbildung g:X [mm] \to \IR [/mm] an,die nicht lokal beschränkt ist. |
Hallo zusammen^^
Ich tu mich etwas schwer mit dieser Aufgabe, da wir uns noch fast gar nichts zur lokalen Beschränktheit einer Funktion aufgeschrieben haben. Ich habe nur die Definition davon:
L.B.: "Sei (X,d) ein metrischer Raum.Eine Abbildung f:X [mm] \to \IR [/mm] heißt lokal beschränkt,falls für alle x [mm] \in [/mm] X eine Zahl [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert,sodass f auf der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von x beschränkt ist (d.h. [mm] \exists [/mm] C > 0: [mm] \forall [/mm] x' in [mm] K(x,\varepsilon): [/mm] |f(x')| [mm] \le [/mm] C).
Die Definition an sich habe ich soweit verstanden.
Jetzt habe ich mir folgendes überlegt:
|f(x')| [mm] \le [/mm] C bedeutet ja, dass die Bildmenge von f bzw. ein Teil der Bildmenge von f beschränkt ist. Also habe ich überlegt, welche beschränkten Mengen es so gibt. Da f aber nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt sein soll, könnte ich [mm] f(x)=\bruch{1}{x}, [/mm] da die Menge [mm] M=\{\bruch{1}{n}| n \in \IN\} [/mm] nehmen, denn diese ist nicht beschränkt. Das Problem ist aber, dass dann die Null ausgeschlossen ist und das darf ja nicht sein.
Dann habe ich an lineare Funktionen gedacht, denn die sind, wenn ich die Def. richtig verstehe, lokal beschränkt, aber nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt. Könnte man somit eine lineare Funktion nehmen?
Als metrischen Raum würde ich dann einfach [mm] (\IR,d) [/mm] nehmen, wobei ich nicht verstehe, welche Rolle hier die Abstandsfunktion spielt. Wofür brauche die?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Fr 03.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man gebe einen metrischen Raum (X,d) sowie eine lokal
> beschränkte Abbildung f:X [mm]\to \IR[/mm] an, die nicht auf ganz
> [mm]\IR[/mm] beschränkt ist. Man gebe außerdem eine Abbildung g:X
> [mm]\to \IR[/mm] an,die nicht lokal beschränkt ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich tu mich etwas schwer mit dieser Aufgabe, da wir uns
> noch fast gar nichts zur lokalen Beschränktheit einer
> Funktion aufgeschrieben haben. Ich habe nur die Definition
> davon:
>
> L.B.: "Sei (X,d) ein metrischer Raum.Eine Abbildung f:X [mm]\to \IR[/mm]
> heißt lokal beschränkt,falls für alle x [mm]\in[/mm] X eine Zahl
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert,sodass f auf der
> [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von x beschränkt ist (d.h. [mm]\exists[/mm] C
> > 0: [mm]\forall[/mm] x' in [mm]K(x,\varepsilon):[/mm] |f(x')| [mm]\le[/mm] C).
>
> Die Definition an sich habe ich soweit verstanden.
>
> Jetzt habe ich mir folgendes überlegt:
> |f(x')| [mm]\le[/mm] C bedeutet ja, dass die Bildmenge von f bzw.
> ein Teil der Bildmenge von f beschränkt ist.
Richtig.
Ein wichtiger Hinweis: Die Konstante C in der Definition darf durchaus für verschiedene Punkte x unterschiedliche Werte haben. (Wnn sie überall den gleichen Wert hat, dann ist die Funktion ja schon global beschränkt.)
> Also habe ich
> überlegt, welche beschränkten Mengen es so gibt. Da f
> aber nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt sein soll, könnte ich
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x},[/mm] da die Menge [mm]M=\{\bruch{1}{n}| n \in \IN\}[/mm]
> nehmen, denn diese ist nicht beschränkt. Das Problem ist
> aber, dass dann die Null ausgeschlossen ist und das darf ja
> nicht sein.
Richtig. Du könntest höchstens einen zufälligen Wert bei 0 annehmen, also z.B.
[mm] f(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ \bruch{1}{x}, & x\not=0 \end{cases} [/mm] .
Ist diese Funktion lokal beschränkt? Tipp: schau dir die Umgebung von 0 an!
> Dann habe ich an lineare Funktionen gedacht, denn die sind,
> wenn ich die Def. richtig verstehe, lokal beschränkt, aber
> nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt. Könnte man somit eine
> lineare Funktion nehmen?
Ja, kannst du.
> Als metrischen Raum würde ich dann einfach [mm](\IR,d)[/mm]
> nehmen, wobei ich nicht verstehe, welche Rolle hier die
> Abstandsfunktion spielt. Wofür brauche die?
Für die Definition der [mm] $\varepsilon$-Umgebung. [/mm] Wenn du nur eine Metrik hast (statt einer Norm), ist
[mm] $U_\varepsilon(x) [/mm] = [mm] \{y \mid d(x,y)<\varepsilon\}$
[/mm]
Mit einer Norm wird aus [mm] $d(x,y)<\varepsilon$ [/mm] einfach [mm] $|x-y|<\varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 05.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo rainerS,
> Richtig.
>
> Ein wichtiger Hinweis: Die Konstante C in der Definition
> darf durchaus für verschiedene Punkte x unterschiedliche
> Werte haben. (Wnn sie überall den gleichen Wert hat, dann
> ist die Funktion ja schon global beschränkt.)
Ja, so meinte ich das auch.
>
> > Also habe ich
> > überlegt, welche beschränkten Mengen es so gibt. Da f
> > aber nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt sein soll, könnte ich
> > [mm]f(x)=\bruch{1}{x},[/mm] da die Menge [mm]M=\{\bruch{1}{n}| n \in \IN\}[/mm]
> > nehmen, denn diese ist nicht beschränkt. Das Problem ist
> > aber, dass dann die Null ausgeschlossen ist und das darf ja
> > nicht sein.
>
> Richtig. Du könntest höchstens einen zufälligen Wert
> bei 0 annehmen, also z.B.
>
> [mm]f(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ \bruch{1}{x}, & x\not=0 \end{cases}[/mm]
> .
>
> Ist diese Funktion lokal beschränkt? Tipp: schau dir die
> Umgebung von 0 an!
Ich denke schon, denn ich rechne z.B. f(0,1)=10 und f(-0,1)=-10. Dann kann ich als C einfach 10 wählen und epsilon 0,1 und es passt.
Das ist auch der Grund warum ich nicht verstehe, wie eine Funktion nicht lokal beschränkt sein kann, denn man kann sich das Epsilon und das c immer passend wählen.
>
> > Dann habe ich an lineare Funktionen gedacht, denn die sind,
> > wenn ich die Def. richtig verstehe, lokal beschränkt, aber
> > nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt. Könnte man somit eine
> > lineare Funktion nehmen?
>
> Ja, kannst du.
Ich nehme mal ganz einfach f(x)=x. Jetzt muss ich noch beweisen, dass f lokal beschränkt ist,aber nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt ist. Kann man nicht sagen, dass f streng monoton wächst und deswegen nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt sein kann? Und die lokale Beschränktheit ist auch klar, aber wie beweist man, dass immer ein solches C existiert?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 05.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Richtig. Du könntest höchstens einen zufälligen Wert
> > bei 0 annehmen, also z.B.
> >
> > [mm]f(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ \bruch{1}{x}, & x\not=0 \end{cases}[/mm]
> > .
> >
> > Ist diese Funktion lokal beschränkt? Tipp: schau dir die
> > Umgebung von 0 an!
>
> Ich denke schon, denn ich rechne z.B. f(0,1)=10 und
> f(-0,1)=-10. Dann kann ich als C einfach 10 wählen und
> epsilon 0,1 und es passt.
Na, dann muesste $|f(0.05) - f(0)|$ aber auch durch $C = 10$ beschraenkt sein. Ist es das?
> Das ist auch der Grund warum ich nicht verstehe, wie eine
> Funktion nicht lokal beschränkt sein kann, denn man kann
> sich das Epsilon und das c immer passend wählen.
> >
> > > Dann habe ich an lineare Funktionen gedacht, denn die sind,
> > > wenn ich die Def. richtig verstehe, lokal beschränkt, aber
> > > nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt. Könnte man somit eine
> > > lineare Funktion nehmen?
> >
> > Ja, kannst du.
>
> Ich nehme mal ganz einfach f(x)=x.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt muss ich noch
> beweisen, dass f lokal beschränkt ist,aber nicht auf ganz
> [mm]\IR[/mm] beschränkt ist. Kann man nicht sagen, dass f streng
> monoton wächst und deswegen nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt
> sein kann?
Nein. Die Funktion $x [mm] \mapsto \arctan [/mm] x$ ist auch streng monoton steigend, aber auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] beschraenkt.
> Und die lokale Beschränktheit ist auch klar,
> aber wie beweist man, dass immer ein solches C existiert?
Such dir ein $C$ aus (z.B. 42 oder [mm] $\pi$ [/mm] oder was auch immer) und sag, wie das zugehoerige [mm] $\varepsilon$ [/mm] gewaehlt werden muss. Und dann zeige, dass die Bedingung fuer die Kombination von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und $C$ erfuellt ist.
LG Felix
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Hallo,
> > > [mm]f(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ \bruch{1}{x}, & x\not=0 \end{cases}[/mm]
> > > .
> > >
> > > Ist diese Funktion lokal beschränkt? Tipp: schau dir die
> > > Umgebung von 0 an!
> >
> > Ich denke schon, denn ich rechne z.B. f(0,1)=10 und
> > f(-0,1)=-10. Dann kann ich als C einfach 10 wählen und
> > epsilon 0,1 und es passt.
>
> Na, dann muesste [mm]|f(0.05) - f(0)|[/mm] aber auch durch [mm]C = 10[/mm]
> beschraenkt sein. Ist es das?
Nein. Dann ist diese Funktion auch nicht lokal beschränkt. Reicht so ein Gegenbeispiel schon als Beweis dafür aus, dass die Funktion nicht lokal konstant ist?
> > Ich nehme mal ganz einfach f(x)=x.
>
>
>
> > Jetzt muss ich noch
> > beweisen, dass f lokal beschränkt ist,aber nicht auf ganz
> > [mm]\IR[/mm] beschränkt ist. Kann man nicht sagen, dass f streng
> > monoton wächst und deswegen nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt
> > sein kann?
>
> Nein. Die Funktion [mm]x \mapsto \arctan x[/mm] ist auch streng
> monoton steigend, aber auf ganz [mm]\IR[/mm] beschraenkt.
>
> > Und die lokale Beschränktheit ist auch klar,
> > aber wie beweist man, dass immer ein solches C existiert?
>
> Such dir ein [mm]C[/mm] aus (z.B. 42 oder [mm]\pi[/mm] oder was auch immer)
> und sag, wie das zugehoerige [mm]\varepsilon[/mm] gewaehlt werden
> muss. Und dann zeige, dass die Bedingung fuer die
> Kombination von [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]C[/mm] erfuellt ist.
Ok, ich habe einfach mal C=5 gewählt und herausgefunden, dass [mm] \varepsilon
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Hallo,
>
> > > > [mm]f(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ \bruch{1}{x}, & x\not=0 \end{cases}[/mm]
> > > > .
> > > >
> > > > Ist diese Funktion lokal beschränkt? Tipp: schau dir die
> > > > Umgebung von 0 an!
> > >
> > > Ich denke schon, denn ich rechne z.B. f(0,1)=10 und
> > > f(-0,1)=-10. Dann kann ich als C einfach 10 wählen und
> > > epsilon 0,1 und es passt.
> >
> > Na, dann muesste [mm]|f(0.05) - f(0)|[/mm] aber auch durch [mm]C = 10[/mm]
> > beschraenkt sein. Ist es das?
> Nein. Dann ist diese Funktion auch nicht lokal
> beschränkt. Reicht so ein Gegenbeispiel schon als Beweis
> dafür aus, dass die Funktion nicht lokal konstant ist?
ging es nicht um lokale Beschränktheit? Natürlich reicht das nicht aus (denn wer sagt Dir, dass Du vielleicht nur die Beschränkungskonstante nicht groß genug gewählt hast?), gibt aber eine Beweiststrategie vor, wie man vorgehen kann (könnte), um zu zeigen, dass die Funktion nicht lokal beschränkt ist.
Unklar ist mir auch, wieso bei Euch sowas wie [mm] $|f(x_1)-f(x_0)|$ [/mm] auftaucht (vielleicht war da ein durcheinander mit Stetigkeit oder glm. Stetigkeit oder sowas passiert; ist auch nicht tragisch, kann halt mal passieren...). Schaut nochmal genau in die Definition der lokalen Beschränktheit.
Nehmen wir an, Dein obiges [mm] $f\,$ [/mm] wäre lokal beschränkt. Insbesondere ist dann [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt in einer genügend kleinen [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] wobei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
D.h. aber: Es existiert zu [mm] $x_0=0$ [/mm] eine Konstante $0 < C < [mm] \infty\,,$ [/mm] so dass für alle $x$ mit [mm] $-\epsilon [/mm] < x < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt:
$$|f(x)| [mm] \le C\,.$$
[/mm]
Setze [mm] $R:=1/C\,.$ [/mm] Jetzt wähle ein $x [mm] \in ]0,\epsilon[ \cap ]0,R\,.[$ [/mm] (Wichtig dabei: Begründe, warum die letzte Schnittmenge nicht leer sein kann!)
Dann liegt x einerseits in der [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] es muss also (beachte auch $x [mm] \ge [/mm] 0$ und damit $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$)
$$|f(x)|=f(x) [mm] \le [/mm] C$$
gelten.
Andererseits gilt auch $0 < x < R$ und damit $0 < x < [mm] 1/C\,$ [/mm] bzw. $1/x > [mm] C\,.$ [/mm] Dann folgt aber
$$|f(x)|=f(x)=1/x > [mm] C\,.$$
[/mm]
Es folgt aus $C < 1/x=f(x) [mm] \le [/mm] C$ die unmögliche Beziehung $C < [mm] C\,,$ [/mm] also Widerspruch.
P.S.:
Man muss hier nicht unbedingt einen Widerspruchsbeweis führen, sondern man kann auch zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] in jeder Umgebung von [mm] $x_0=0$ [/mm] "jede (noch so große) Konstante" betragsmäßig übertrifft. Die Idee ist die gleiche wie in obigem Beweis:
Wenn ich (z.B. rechtsseitig) "mit den x-Werten nur nahe genug an die 0 heranlaufe (aber auch noch von ihr verschieden bleibe), dann laufen die Funktionswerte mir betragsmäßig davon". Und aufgrund der gegebenen Struktur von [mm] $f\,$ [/mm] kann man hier sogar sagen:
Fällt mein x-Wert betragsmäßig streng gegen 0, so wachsen die Funktionswerte betragsmäßig ins Unermeßliche. Es ist allerdings wichtig dabei, zu beachten, dass die Funktionswerte betragsmäßig ins Unendliche wachsen. Denn wie Du weißt, folgt aus strenger Monotonie noch nicht die Beschränktheit einer Folge (Funktion).
(Ggf. schau' Dir nochmal einen der wichtigsten Sätze der Analysis an: Den Hauptsatz über monotone Folgen. Kurz: Wächst eine beschränkte Folge (streng) monoton, so konvergiert sie!)
Also:
Einen direkten Beweis kannst Du oben etwa so erbringen:
Sei $C > 0$ irgendeine Konstante. Sei [mm] $U\,$ [/mm] irgendeine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] Setze [mm] $x=x_n:=\frac{1}{2^{n+1}*C} [/mm] > 0$ für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $$f(x_n)=2^{n+1}C [/mm] > 2^1C > [mm] C\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $x_n \to [/mm] 0$ fällt aber (für genügend großes $n$) sicher ein [mm] $x_n$ [/mm] in die Umgebung $U$ (es gilt sogar: ist [mm] $x_{n_0} \in U\,,$ [/mm] so ist auch [mm] $x_N \in [/mm] U$ für alle $N [mm] \ge n_0$; [/mm] d.h. es liegen sogar "fast alle" und insbesondere auch unendlich viele dieser [mm] $x_n$ [/mm] in der Umgebung U). Weil $C > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig und [mm] $U\,$ [/mm] eine beliebige Umgebung um [mm] $0\,$ [/mm] waren, kann [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht lokal beschränkt sein.
(Im direkten Beweis ist das Fazit: In jeder (noch so kleinen) Umgebung von [mm] $x_0=0$ [/mm] gibt es zu jeder (noch so großen) Konstanten $C > 0$ eine Stelle [mm] $x\,$ [/mm] so, dass $f(x)=|f(x)|$ den Wert der Konstanten übertrifft.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 11.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 05.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Man zeige,dass jede lokal beschränkte Abbildung auf einem kompakten metrischen Raum beschränkt ist. |
Hallo,
Bei der b) habe ich mir folgendes gedacht:
Sei X ein kompakter metrischer Raum. Dann ist X abgeschlossen und beschränkt. Sei nun f ein lokal beschränkte Abbildung, d.h es existiert für jedes x ein solches C >0, dass für alle x' [mm] \in K(x,\varepsilon): [/mm] |f(x')| [mm] \le [/mm] C.
Außerdem hat X noch die Hausdorff-Eigenschaft, d.h. für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 existieren Punkte [mm] p_{1},...,p_{k} \in [/mm] X mit [mm] X=\cup K(p_{i},\varepsilon).
[/mm]
Das heißt doch, dass für jedes x' [mm] \in K(p_{i},\varepsilon) [/mm] |f(x')| [mm] \le [/mm] C gilt. Und da X die Vereinigung von solchen Kugeln ist, ist f(x) immer beschränkt in X.
Aber eigentlich folgt doch aus der Tatsache, dass X beschränkt ist, schon, dass jede lokal beschränkte Funktion in X auch beschränkt sein muss.Das wäre aber zu leicht.
Ich hab noch an die Überdeckungseigenschaft, aber ich denke, hier bringt sie nichts.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 So 05.06.2011 | | Autor: | SEcki |
> Sei X ein kompakter metrischer Raum. Dann ist X
> abgeschlossen und beschränkt.
Falsch. Was soll denn überhaupt Beschränktheit für einen metrischen Raum heissen?
> Sei nun f ein lokal
> beschränkte Abbildung, d.h es existiert für jedes x ein
> solches C >0, dass für alle x' [mm]\in K(x,\varepsilon):[/mm]
> |f(x')| [mm]\le[/mm] C.
Fast - es existiert auch ein [m]\varepsilon[/m]!
> Außerdem hat X noch die Hausdorff-Eigenschaft, d.h. für
> alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 existieren Punkte [mm]p_{1},...,p_{k} \in[/mm]
> X mit [mm]X=\cup K(p_{i},\varepsilon).[/mm]
> Das heißt doch, dass
> für jedes x' [mm]\in K(p_{i},\varepsilon)[/mm] |f(x')| [mm]\le[/mm] C gilt.
Wieso? C und [m]\varpesilon[/m] sind nicht alle gleich.
> Und da X die Vereinigung von solchen Kugeln ist, ist f(x)
> immer beschränkt in X.
f(x) ist sicher immer beschränkt - es geht aber um f!
> Aber eigentlich folgt doch aus der Tatsache, dass X
> beschränkt ist, schon, dass jede lokal beschränkte
> Funktion in X auch beschränkt sein muss.Das wäre aber zu
> leicht.
So sieht man wenigstens, dass man sich verrant hat.
> Ich hab noch an die Überdeckungseigenschaft, aber ich
> denke, hier bringt sie nichts.
Doch - mit der ist es gaaaaaanz einfach.
SEcki
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Hallo SEcki,
> > Ich hab noch an die Überdeckungseigenschaft, aber ich
> > denke, hier bringt sie nichts.
>
> Doch - mit der ist es gaaaaaanz einfach.
Ok,ich habe jetzt einen Beweis, bin mir aber nicht sicher ob der so stimmt.
Sei f eine lokal beschräänkte Abbildung auf einem metrischen Raum X, d.h. für alle x [mm] \in [/mm] X ex. ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 und ein [mm] C_{x} [/mm] >0 derart, dass folgendes gilt:
[mm] \forall [/mm] x' [mm] \in K(x,\varepsilon): [/mm] |f(x')| [mm] \le C_{x}.
[/mm]
Da X ein kompakter metrischer Raum ist, hat jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung, d.h. [mm] X=U_{1} \cup...\cup U_{k}.
[/mm]
Jetzt nehme ich mir einfach mal ein [mm] u_{1} \in U_{1} [/mm] und wähle [mm] \varepsilon [/mm] derart, dass [mm] K(u_{1},\varepsilon)=U_{1}, [/mm] wobei ich mir an dieser unsicher bin ob ich das machen darf.
Sei nun x' [mm] \in K(u_{1},\varepsilon). [/mm] Dann folgt: Es ex. ein C>0 derart,dass |f(x')| [mm] \le C_{x}. [/mm] Und das gleiche mache ich mit allen anderen [mm] U_{i}.
[/mm]
Dann folgt, dass ein solchen C existieren muss, sodass |f(x)| [mm] \le [/mm] C für alle x [mm] \in [/mm] X.
Geht das so?
Alternativ habe ich es noch mit der Haussdorf-Eigenschaft versucht.
Da X ein kompakter metrischer Raum ist, existieren für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 Punkte [mm] p_{1},...p_{k} \in [/mm] X mit X= [mm] \cup K(p_{i},\varepsilon).
[/mm]
Jetzt wähle ich mir einfach einen Punkt [mm] p_{i}, [/mm] i [mm] \in \{1,...,k\} [/mm] und das [mm] \varepsilon [/mm] so, dass f auf [mm] K(p_{i},\varepsilon) [/mm] beschränkt ist,d.h. [mm] \forall [/mm] x' [mm] \in K(p_{i},\varepsilon):|f(x)| \le C_{i} [/mm] .
Da X nun die Vereinigung von solchen Kugeln ist, wähle ich [mm] C=max\{C_{i}: i\in \{1,...,k\}\}. [/mm] Dann folgt |f(x)| [mm] \le [/mm] C.
Ist einer von meinen Beweisen brauchbar oder zumindest ein Ansatz?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 10.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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