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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 30.12.2007 | | Autor: | Maggons |
[Dateianhang nicht öffentlich]
nochmal ein Link zur Datei:
![[]](/images/popup.gif) PDF- File; 1. Aufgabe
Huhu
Ich habe diese Übungsaufgaben vorbereitend auf das Abitur mal durchgerechnet; jedoch bin ich mir nicht so ganz sicher bezüglich meiner Lösungswege.
Da ich das "Glück" habe mit einem CAS arbeiten zu müssen, darf ich ja "tief in die Materie eintauchen" :D
Wenn also jemand mal drüberschauen könnte, wäre ich sehr dankbar :)
a) mit den Bedingungen
n(0)= 200
n(1)=240
kann man die Gleichung 240 = 200 * [mm] p^{1}
[/mm]
aufstellen und nach p=1,2 auflösen
somit wäre die Exponentialfunktion:
[mm] n(t)=200*1,2^{t} [/mm] (bzw. n(t)= [mm] 200*(e^{ln(1,2)})^{t} [/mm] ?)
b)
n(t)=3000
..
t=14,85
Die Population von 3000 Tieren wird am 14. Tag überschritten.
c)
Aufstellen der logistischen Funktion:
[mm] f(t)=\bruch{A}{1+b*e^{-k*t}}
[/mm]
(ich bin mir hier relativ unsicher, weil ich solch eine Funktion vorher noch nie aufgestellt hab; sollte man sowas kennen bzw damit "vertraut" sein? Ist ja nicht so schwer :o)
Naja ich hab mir dann 3 Kriterien überlegt:
es soll gelten gelten:
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{A}{1+b*e^{-k*t}} [/mm] = 3500
Das Produkt mit der e- Funktion wird auf Grund des negativen Exponenten verschwindend gering; somit gilt:
[mm] f(t)=\bruch{A}{1+0}
[/mm]
Dies soll für hohe Werte 3500 ergeben, so dass man hier noch einsetzen kann:
[mm] \bruch{A}{1} [/mm] = 3500 => A = 3500
Dann habe ich A direkt benutzt um zu sagen
f(0)=200 <=> [mm] \bruch{3500}{1+b*e^{-k*0}} [/mm] = 200
200 = [mm] \bruch{3500}{1+b*} [/mm] => B=16,5
Nun sowohl A als auch B benutzend:
f(1)=240 <=> [mm] \bruch{3500}{1+16,5*e^{-k*t}} [/mm] = 240
=> k = 0,194517
Dies stimmt zwar mit der exemplarischen Lösung überein, jedoch frage ich mich, ob man noch anders hätte drauf kommen können ...?
e)
f(t)=3000 <=> [mm] \bruch{3500}{1+16,5*e^{-0,1945*t}} [/mm] = 3000
...
t=23,6233
Bei logistischem Wachstum übersteigt die Population die Grenze von 3000 Taufliegen am 23. Tag.
f)
Das habe ich lediglich mit CAS gerechnet; alleine die 4 Fktn auf Zettel zu schreiben war eine Qual; daher erspare ich es mir hier auch mal, in der Hoffnung, dass es einfach richtig ist :o
Zunächst habe ich f'(t), f''(t) sowie f'''(t) gebildet.
Dann war meine Rechnung:
f''(t)=0
t= 14,4132
f'''(14,4132)=-3,219 < 0 => Hochpunkt
HP(14,4132|170,187)
Die momentane Wachstumsrate ist durch die Funktion f'(t) gegeben.
Um das Maximum, also die Extrema von f'(t) zu bestimen, bildet man f''(t) und setzt f''(t)=0.
Das Ergebnis wird mit dem hinreichenden Kriterium, also Einsetzen in f'''(t) überprüft; falls das Ergebnis < 0, liegt bei der Extremstelle von f'(t) ein Hochpunkt vor.
Analog lässt es sich auch mit den Wendepunkten von f(t) begründen, da in diesen stets die maximale Steigung vorliegt.
Wenn man nun das Krümmungsverhalten untersucht, erhält man identische Ergebnisse wie oben.
g)
[mm] \integral_{0}^{20}{\bruch{3500}{1+16,5*e^{-0,1945*t}} dt} [/mm] = 23726
In den ersten 20 Tagen der Populationsbildung werden insgesamt 23726 Mengeneinheiten an Futter für die Versorgung der Taufliegen benötigt.
h)
Dies ist wohl die - meiner Ansicht nach, seltsamste Aufgabe.
Das "schätzen" aus der Aufgabenstellung macht mich ein wenig konfus; wie kann man nur anhang der Gleichungen denn hier die Werte schätzen... ?
Ich habe einfach noch 2 "neue Gleichungen" mit den veränderten Werten aufgestellt:
-2,5%:
[mm] \integral_{0}^{20}{\bruch{3500}{1+16,9487*e^{-0,221348*t}} dt} [/mm] = 27258,4
+2,5%:
[mm] \integral_{0}^{20}{\bruch{3500}{1+16,0732*e^{-0,16831*t}} dt} [/mm] = 20172,6
Durch das anfängliche Zählen von lediglich 195 Fliegen würde sich der k- Werte immens erhöhen, da in der gleichen Zeit wie zuvor vergleichsweise mehr Fliegen gebildet werden müssen, um auch weiterhin die Bedingungung f(1)=240 zu erfüllen.
Da anfangs mehr Fliegen vorhanden sind und somit das Wachstum zu stark eingeschätzt wird, werden zu viele Mengeneinheiten an Nahrung einkalkuliert; dies beläuft sich auf ca. 14,89%, die zu viel einkalkuliert werden.
Beim anfänglichen Zählen von 205 Fliegen würde der k- Wert sinken, da in der gleichen Zeit wie zuvor vergleichsweise weniger Fliegen gebildet werden müssen, um auch weiterhin die Bedingung f(1)=240 zu erfüllen.
Da aber weniger Fliegen vorhanden sind und somit das Wachstum einen höheren Wert hat, wird hier zu wenig Nahrung einkalkuliert; diese Fehlkalkulation beläuft sich auf ca. 14,98%.
Naja also wie gesagt ich kann bei der letzten Frage nicht wirklich "schätzen", was passiert wäre; ich hätte einfach mal pauschal auf 10% getippt, hätte damit ja aber relativ weit daneben gelegen.
Das wär es dann auch schon :)
Für jegliche Kritik, Tipps und sonstige Hilfen wäre ich sehr dankbar
Lg, Marco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 So 30.12.2007 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ich habe Deine Lösung kurz überflogen, sie sieht ganz gut aus.
Bei Aufgabe c) hast Du zwei Funktionswerte und den Grenzwert (d.h. vereinfacht gesagt, drei Funktionswerte) und drei Unbekannte A,B und k d.h. Du mußt drei lineare Gleichungen aufstellen, anders gehts nicht. D.h. Du hast das ganz richtig gemacht.
Bei Aufgabe h) zeigt sich, dass ein relativ kleiner Fehler in den Eingangsdaten zu einer wesentlich größeren Abweichung beim Ergebnis führt, d.h. am Anfang sehr genau zählen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 30.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Zunächst vielen Dank für deine flotte Antwort.
Aber wie soll man denn bei der h) die prozentuale Auswirkung des Zählfehlers einschätzen? Das ganze zu berechnen scheint ja nich das Problem zu sein; lässt sich da eine kleine Hochrechnung machen durch Einsetzen von Werten? Oder ist die oben von mir benutzte der einzige konkrete weg?
Ciao, Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 30.12.2007 | | Autor: | zahllos |
Das ist eine schwierige Frage, es geht ja darum, den Einfluß der Fehler in den Eingangsdaten auf das Ergebnis abzuschätzen, damit hat man sich in der angewandten Mathematik oft rumzuschlagen.
Ich denke, Deine Lösung war auch das, was sich der Aufgabensteller gedacht hat, weil es der naheliegenste Ansatz ist.
Wenn Du diese Frage ganz genau bearbeiten willst, mußt Du zunächst den Wert, den Du bei g) für die Futtermenge bekommen hast, in Abhängigkeit von der Größe B schreiben, d.h. Du führst die Integration aus und schreibst an Stelle der 16,5 einfach B.
Dann stellt Du B in Abhängigkeit von dem Anfangswert dar, d.h. Du setzt A und k in die Wachstumsfunktion ein, setzt diese gleich einem unbekannten Anfangswert N und löst nach B auf.
Dieses Ergebnis setzt Du in die Darstellung des Integrals ein, die Du oben erhalten hast. Jetzt hast Du den Integralwert (Futtermenge) in Abhängigkeit vom Anfangswert (Population zum Zeitpunkt 0).
Diesen Ausdruck kannst Du nach B ableiten und schon (!) siehst Du, wie sich die Futtermenge ändert, wenn die Anfangsdaten verfälscht werden.
Du erkennst aus dieser Aufstellung schon, dass das Ganze eine ziemliche Rechnerei ist, und im Endeffekt kommt auch nichts genaueres heraus, als Dein Ergebnis.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:25 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Ok.
Dann belasse ich es einfach bei der obigen Rechnung und spare mir das Umständliche.
Vielen Dank für dein Korrekturlesen und die damit verbundenen Hinweise.
Lg Marco
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