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| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung der Gleichung:
[mm] log(x^{4})-log(4x^{2})+log4=4 [/mm] |
Ich komm einfach nicht mehr voran.. ich bin jetzt hier steckengeblieben:
[mm] log(\bruch{x^{4}}{4x^{2}})=4-log(4)
[/mm]
Ist das überhaupt richtig ? Wenn ja, wie geht es weiter ? Wie löse ich nach x auf ?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Di 22.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen sie die Lösung der Gleichung:
> [mm]log(x^{4})-log(4x^{2})+log4=4[/mm]
Wende Links die  Logarithmusgesetze an, dann bekommst du hier:
[mm] \log\left(\frac{x^{4}+4}{4x^{2}}\right)=4
[/mm]
[mm] \red{\log(x^{2})=4}
[/mm]
Nun kannst du den Logarithmus lösen, indem du zur passenden Basis "hochstellst". Vermultlich ist mit [mm] \log [/mm] der Logarithmus zur Basis 10 gemeint, also [mm] \log=\log_{10}=
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 22.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > Bestimmen sie die Lösung der Gleichung:
> > [mm]log(x^{4})-log(4x^{2})+log4=4[/mm]
>
> Wende Links die Logarithmusgesetze an, dann bekommst du
> hier:
>
> [mm]\log\left(\frac{x^{4}+4}{4x^{2}}\right)=4[/mm]
Hallo Marius,
das stimmt aber nicht. Richtig ist
[mm]\log\left(\frac{x^{4}*4}{4x^{2}}\right)=4[/mm]
Gruß FRED
>
> Nun kannst du den Logarithmus lösen, indem du zur
> passenden Basis "hochstellst". Vermultlich ist mit [mm]\log[/mm] der
> Logarithmus zur Basis 10 gemeint, also [mm]\log=\log_{10}=\lg[/mm]
>
> Hier also bekommst du dann
> [mm]\frac{x^{4}+4}{4x^{2}}=10^{4}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{4}+4=40.000x^{2}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{4}-40.000x^{2}+4=0[/mm]
>
> Diese biquadratische Gleichung kannst du über die
> Substitution [mm]z=x^{2}[/mm] und der Lösungsformel lösen.
>
> Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Di 22.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Fred, hallo Anopheles
> > Hallo
> >
> > > Bestimmen sie die Lösung der Gleichung:
> > > [mm]log(x^{4})-log(4x^{2})+log4=4[/mm]
> >
> > Wende Links die Logarithmusgesetze an, dann bekommst du
> > hier:
> >
> > [mm]\log\left(\frac{x^{4}+4}{4x^{2}}\right)=4[/mm]
>
> Hallo Marius,
> das stimmt aber nicht. Richtig ist
>
> [mm]\log\left(\frac{x^{4}*4}{4x^{2}}\right)=4[/mm]
>
> Gruß FRED
Danke für das Aufpassen, ich verbessere das gleich.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 22.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Lösung der Gleichung:
> [mm]log(x^{4})-log(4x^{2})+log4=4[/mm]
> Ich komm einfach nicht mehr voran.. ich bin jetzt hier
> steckengeblieben:
>
> [mm]log(\bruch{x^{4}}{4x^{2}})=4-log(4)[/mm]
>
> Ist das überhaupt richtig ? Wenn ja, wie geht es weiter ?
> Wie löse ich nach x auf ?
>
> Danke schonmal!
Marius hat sich ein wenig vertan. Mit den Rechenregeln für Logarithmen bekommt man
[mm]\log\left(\frac{x^{4}*4}{4x^{2}}\right)=4[/mm]
Also [mm]\log\left(x^2}\right)=4[/mm]
FRED
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Danke für die Antworten!
Ich weiß bloß immernoch nicht wie ich aus
[mm] log(x^{2})=4
[/mm]
auf X komme.. tut mir leid, aber ich hatte seit fast einem Jahr kein Mathe mehr und werde jetzt damit an der Uni konfrontiert! Finde keine Gesetze die ich anwenden könnte..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Anopheles!
> Ich weiß bloß immernoch nicht wie ich aus
>
> [mm]log(x^{2})=4[/mm]
>
> auf X komme.. tut mir leid, aber ich hatte seit fast einem
> Jahr kein Mathe mehr und werde jetzt damit an der Uni
> konfrontiert! Finde keine Gesetze die ich anwenden
> könnte..
Für je reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ mit $c>0$ gilt die Äquivalenz:
[mm] $a=b\iff c^a=c^b$.
[/mm]
Also gilt die Äquivalenz
[mm] $log(x^{2})=4\iff 10^{log(x^2)}=10^4$.
[/mm]
Aber es gilt (falls log den Logarithmus zur Basis 10 bezeichnen soll)
[mm] $10^{log(x^2)}=x^2$.
[/mm]
Also ist die Gleichung aus der Aufgabe äquivalent zu
[mm] $x^2=10^4$.
[/mm]
Der entscheidende Trick bestand darin, den Logarithmus zu "eliminieren", indem man das Gegenteil vom Logarithmieren auf beide Seiten der Gleichung anwendet.
Viele Grüße
Tobias
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Vielen Dank!
Wenn du mir jetzt noch erklären kannst warum [mm] 10^{log(x^{2})}=x^{2},
[/mm]
dann hab ich keine Fragen mehr!
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn du mir jetzt noch erklären kannst warum
> [mm]10^{log(x^{2})}=x^{2},[/mm]
>
> dann hab ich keine Fragen mehr!
Ich habe vergessen zu erwähnen, dass dies nur für [mm] $x^2>0$ [/mm] (also für [mm] $x\not=0$) [/mm] gilt.
Ansonsten ist [mm] $\log(x^2)$ [/mm] ja gar nicht definiert.
Außerdem gilt [mm] $10^{log(x^{2})}=x^{2}$ [/mm] wie gesagt nur, falls ihr mit log den Logarithmus zur Basis 10 bezeichnet.
In diesem Fall ist [mm] $\log(a)$ [/mm] für reelle Zahlen $a>0$ definiert als die (existierende und eindeutig bestimmte) reelle Zahl $b$ mit [mm] $10^b=a$.
[/mm]
Also gilt [mm] $10^{\log(a)}=a$.
[/mm]
Wende diese Tatsache nun auf [mm] $a:=x^2$ [/mm] an.
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