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Hallo , ich hänge an dieser Aufgabe irgendwie seit Tagen..
Eine Hilfe wurde mir angeboten , aber ich komme einfach nicht weiter.
Ich muss einen x-Wert von zwei Funktionen ausrechnen , die an dieser Stelle x die gleiche Steigung haben , also werden jeweils die ersten Ableitungen gleichgesetzt.
Ich habe es auch zeichnen lassen , mit einem Funktionsplotter , ich sehe zwar den Schnittpunkt , aber ich will es rechnerisch beweisen.
Ich habe noch nicht die Logarithmusgesetze drauf , das Thema hatten wir noch nicht , aber ich sollte glaube ich in der Lage sein , sowas zu lösen..
Also genug geschrieben :D :)
Hier ist die Aufgabe :
[mm] e^x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x}
[/mm]
x * ln(e) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *x * ln( [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] e)
x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x * 0,30685
Und jetzt ? Ist das bis hierhin überhaupt richtig ?
Danke schon im Voraus.
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Hallo,
auf der rechten Seite hast du beim Logarithmieren einen Fehler gemacht.
Es muss zunächst
[mm] ln\left(\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}x}\right)
[/mm]
heißen, was du nun sukzessive durch Anwendung der Gesetze
log(a*b)=log(a)+log(b)
log(a/b)=log(a)-log(b)
[mm] log(a^b)=b*log(a)
[/mm]
vereinfachen solltest.
Gruß, Diophant
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Warum ist das so ?
Ich mache es bei [mm] e^x [/mm] ja auch nicht anders , oder ?
Ich nehme das x nach vorne und logarithmiere dann die eulersche Zahl.
Warum muss man das da anders machen ? Weil das ein Produkt ist ?
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Hallo,
auf der linken Seite hast du ja einfach die Umkehrfunktion angewendet. Auf der rechten Seite ist genau das
> Warum muss man das da anders machen ? Weil das ein Produkt
> ist ?
zu beachten. 
Gruß, Diophant
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Achso okay , also dann versuche ich es mal :
$ [mm] e^x [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x} [/mm] $
x * ln (e) = [mm] ln(\bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x})
[/mm]
x = [mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] ln(e^{\bruch{1}{2}x})
[/mm]
x = ln(1) - ln (2) + [mm] \bruch{1}{2}x* [/mm] ln(e)
Ist das richtig ?
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Hallo,
> Ist das richtig ?
Ja, das ist bis dahin richtig. Jetzt bedenke ln(1)=0 und ln(e)=1 zur weiteren Vereinfachung.
Gruß, Diophant
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x = ln(1) - ln (2) + $ [mm] \bruch{1}{2}x\cdot{} [/mm] $ ln(e)
x = -ln(2) + [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
Das x kann ich nicht rübernehmen , denn dann habe ich kein x mehr. Wie kann ich jetzt das "elegant" lösen ?
Edit :
Kurz überlegt :
ln(2) + x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x
ln(2) = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - x
ln(2) = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{2x}{2}
[/mm]
ln(2) = [mm] \bruch{-x}{2}
[/mm]
ln(2) * 2 = -x
-(ln(2) *2) = x
So richtig ?
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Hallo,
weshalb nicht [mm] -\bruch{1}{2}x [/mm] ?
Gruß, Diophant
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Entschuldigung , aber wo denn jetzt :S
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Hi,
> Entschuldigung , aber wo denn jetzt :S
auf beiden Seiten, wie bei jeder Gleichungsumformung.
Gruß, Diophant
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x = ln(1) - ln (2) + $ [mm] \bruch{1}{2}x\cdot{} [/mm] $ ln(e)
x = -ln(2) + $ [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] $
ln(2) + x = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ x
ln(2) = $ [mm] \bruch{x}{2} [/mm] $ - x
ln(2) = $ [mm] \bruch{x}{2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{2x}{2} [/mm] $
ln(2) = $ [mm] \bruch{-x}{2} [/mm] $
ln(2) * 2 = -x
-(ln(2) *2) = x
x = -1,38
Diesen Wert kann ich auch aus der Zeichnung entnehmen..
Blicke grad nicht durch , wo der Fehler sein soll
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Hallo,
> Blicke grad nicht durch , wo der Fehler sein soll
ich auch nicht: denn jetzt ist es richtig. Man könnte höchstens noch kritisch anmerken, dass man da schneller hinkommen kann:
[mm]e^x=\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}x}[/mm]
[mm]x=ln\left(\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}x}\right)[/mm]
[mm]x=ln\left(\bruch{1}{2}\right)+\bruch{1}{2}x[/mm]
[mm]x=-ln(2)+\bruch{1}{2}x[/mm]
[mm]\bruch{1}{2}x=-ln(2)[/mm]
[mm]x=-2*ln(2)[/mm]
Und schon diese Version ist sehr ausführlich geschrieben.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 05.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Das lag daran , dass ich erst die Antwort geschrieben hatte und mir dann der Gedankenblitz kam und ich die Antwort dann bearbeitet hatte.
Kleines Kommunikationsproblem , aber vielen Dank für deine ausführliche Hilfe.
Schönen Sonntag noch :D
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