Logarithmengesetze < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage bezüglich der Logarithmengesetze.
Nach einer Integralberechnung durch Substition komme ich auf einen Term den ich nicht zu lösen weiß:
[mm]\integral_{2}^{4}{ \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx}[/mm]
Da die Ableitung des Nenners im Zähler steht, kann ich Substitution anwenden und komme auf:
[mm]\integral_{2}^{4}{ \bruch{1}{z}dx}[/mm]
Dann resubstituiere ich wieder und habe dann [mm] [ln(e^x+e^{-x})] [/mm] da stehen. Wie mache ich dann weiter, wenn ich nicht den Taschenrechner benutzen kann?
Würde mich über eine Antwort freuen!
Gruß,
Abilernerin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage bezüglich der Logarithmengesetze.
> Nach einer Integralberechnung durch Substition komme ich
> auf einen Term den ich nicht zu lösen weiß:
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{ \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx}[/mm]
>
> Da die Ableitung des Nenners im Zähler steht, kann ich
> Substitution anwenden und komme auf:
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{ \bruch{1}{z}dx}[/mm]
Die grenzen sind falsch ! mit der Substitution $z = [mm] e^x+e^{-x}$ [/mm] geht da Integral über in
[mm]\integral_{e^2+e^{-2}}^{e^4+e^{-4}}{ \bruch{1}{z}dz}[/mm] = [mm] $ln(\bruch{e^4+e^{-4}}{e^2+e^{-2}})$
[/mm]
FRED
>
> Dann resubstituiere ich wieder und habe dann
> [mm][ln(e^x+e^{-x})][/mm] da stehen. Wie mache ich dann weiter, wenn
> ich nicht den Taschenrechner benutzen kann?
>
> Würde mich über eine Antwort freuen!
>
> Gruß,
> Abilernerin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Aber muss ich die Grenzen nicht auch resubstituieren? So haben wir es zumindest in der Schule gelernt. Den Schritt hab ich jetzt allerdings ausgelassen! Denn wenn ich die Grenzen jetzt schon einsetzen würde und in den Taschenrechner eintippe, komme ich auf das richtige Ergebnis.
Wollte halt nur wissen, ob es eine Regel oder einen Trick gibt, wenn man im Logarithmus eine Summe von Exponentialfunktionen hat?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du hast das formal etwas durcheinander gebracht. Da steht noch [mm] $\int^{\red{4}}_{\red{2}} \frac{1}{z}\,d\red{x}$ [/mm] , obwohl doch das z jetzt irgendwie deine Integrations-variable ist. Das meinte Fred. Du solltest sowas schreiben wie [mm] \int_{z(2)}^{z(4)}\frac{1}{z}\,dz [/mm]
Allerdings hast du recht, hinterher wird ja zurücksubstituriert.
Zur eigentlichen Frage: ICh sehe nicht, wie du DIESEN Term vereinfachen kannst. Allerdings solltest du die Grenzen einsetzen, dann kannst du [mm] \log(a)-\log(b)=\log\frac{a}{b} [/mm] machen. Ob du dann noch weiter vereinfachen kannst, mußt du schaun.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:25 Di 07.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
> > Hallo zusammen!
> >
> > Ich habe eine Frage bezüglich der Logarithmengesetze.
> > Nach einer Integralberechnung durch Substition komme
> ich
> > auf einen Term den ich nicht zu lösen weiß:
> >
> > [mm]\integral_{2}^{4}{ \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx}[/mm]
> >
> > Da die Ableitung des Nenners im Zähler steht, kann ich
> > Substitution anwenden und komme auf:
> >
> > [mm]\integral_{2}^{4}{ \bruch{1}{z}dx}[/mm]
>
>
> Die grenzen sind falsch ! mit der Substitution [mm]z = e^x+e^{-x}[/mm]
> geht da Integral über in
>
> [mm]\integral_{e^2+e^{-2}}^{e^4+e^{-4}}{ \bruch{1}{z}dz}[/mm] =
> [mm]ln(\bruch{e^4+e^{-4}}{e^2+e^{-2}})[/mm]
richtig aber besser wäre:
[mm] ln(\bruch{e^4+e^{-4}}{e^2+e^{-2}})\Big|_2^4
[/mm]
ach mensch ich hab mich vertan! War natürlich alles richtig...
Was ich nur meinte ist nach der Rücksubstitution sind die Grenzen wieder gleich wie oben!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:28 Di 07.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
> richtig aber besser wäre:
> [mm]ln(\bruch{e^4+e^{-4}}{e^2+e^{-2}})\Big|_2^4[/mm]
Nee, das ist falsch! Wozu sollen hier nochmals die Integrationsgrenzen vermerkt werden?
Gruß
Loddar
|
|
|
|
