Logarithmen und Eulersche < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 17.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo mike
Da die log Fkt die Umkehrfkt der exp funktionen ist, ist es am einfachsten zu erklären, warum [mm] e^x [/mm] häufiger verwendet wird als [mm] a^x
[/mm]
Die exp. fkt treten auf, wenn man konstante Wachstumsraten hat, also f'/f=konst.
Und was ist die einfachste Konstante , zweifellos 1. Und mit f'/f=1 und f(0)=1 kommt man eben für f(1) als Näherung auf [mm] (1+1/n)^n. [/mm]
Wenn man den log über das Integral einführt, ist wiederum Integral über 1/x, also das einfachste der ln. und lnx=1 führt wieder auf e.
Im praktischen Leben, wo man jeden log in jeden anderen überführen kann spielt das keine Rolle. Solange man mit logarithmentafeln gerechnet hat und nicht mit TR oder Komputer war der log zur Basis 10 der meist angewandte. wegen der einfachen Schreibweise: 3+log1,234 =log1234 usw. in Wirklichkeit hat kein log einen wirklichen Vorzug, solange man ihn nicht selbst berechnen muss! und da hilft der 10er log, da man nur Zahlen zw. 0 und 1 oder 1 und 10 kennen muss um alle zu kennen.
Stell vielleicht das Problem dar die logaritmen im computer oder TR wirklich zur Verfügung zu stellen, da sind dann ln und 10log die einfachsten. mach klar, dass im TR wenn man einfach auf [mm] y^x [/mm] tippt, für beliebige y und x innerlich mit dem log gerechnet wird. Und stell etwa ein exel programm auf, um lnx oder [mm] e^x [/mm] auszurechnen.
Nochmal, sobald du nen TR oder Computer hast ist schwer einzusehen, wozu gerade ln oder 10log.
Vielleicht kannst du aber für den 10log an eurer Schule nen Rechenschieber auftreiben und zeigen wie Generationen von Ingenieuren und Wissenschaftler damit multipliziert und dividiert haben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 17.10.2006 | | Autor: | Mike78 |
Hallo!
Irgendwie fehlt mir leider noch etwas der "Lichtblick" in dieser angelegenheit und ich habe noch kein "Gefühl" für Logarithmen entwickelt.
Die Umkehrfunktion ist wie gesagt kein Problem.
Du sagst die Exponentialfunktion ist für einen gleichbleibenden "Wachstumsprozess". Das ist mir ebenfalls einleuchtend.
Aber ich habe noch nicht verstanden was an der Eulerschen Zahl so besonderes ist (außer solche Sachen wie das sie im Graphen zu f(x)=1^(x+1) (war das glaube ich) der e Wert diesen nur streift und niemals unter diesem liegt, das dieser transzendent ist etc.).
Anders gefragt, was nutzt mir diese Zahl? Ich bräuchte eine praktische Rechnung vor meinen Augen wie bei einer einfachen Rechnung mit der transzendenten Zahl Pi möglich ist, wenn du verstehst was ich meine.
Man sagt sie dient dazu Wachstumprozesse etc. gut zu beschreiben. Aber wie geht das?! Wie tut sie das?
Angenommen wir hätten eine Bakterienkolonie die sich nicht mit der gleichen Wachstumsrate vermehrt.
Wie hilft mir die Eulersche Zahl dabei dieses problem zu lösen?
Oder habe ich da irgendetwas falsch verstanden?
Vielen lieben Dank schonmal für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Di 17.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mike
Einen praktischen Nutzen hat e nicht! einen wirklich praktischen Nutzen hat auch [mm] \pi [/mm] oder [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht! Wenn sie benutzt werden, dann immer nur rationale Näherungen!
Zahlen, die nur als Grezwerte definiert sind haben das so an sich!
Noch mal f'/f=1 ist einfacher, als f'/f=0.42. deshalb benutzt man meist die Fkt, die zu f'/f=1 gehört, und nicht die zu f'/f=2 oder f'/f=1.7
wenn du ausserdem festlegst f(0)=1 dann hast du f'(0)=1 damit läufst du ein winziges Stück , 1/n weiter und kommst bei 1+1/n an. Da ist dann wegen f'=f die Steigung auch 1+1/n, du gehst damit ein Stück 1/n weiter usw. wenn du n Stücke 1/n weitergegangen bist kommst du bei 1 an. dann kannst du ausrechnen, dss du bei [mm] (1+1/n)^n [/mm] angekommen bist. das ist für kleine n ein ungenauer Wert für f(1) also machst du n riesig, gehst also in winzigen Schritten. dann hast du schließlich den Grenzwert von [mm] (1+1/n)^n [/mm] und dann kann man diesem GW nen namen geben der ist halt e.
Wenn das Wachstum nicht 1, sondern 0.3 ist wirds ein bissel komplizierter. Und das ist alles.
zur 2. Frage: nicht alle Wachstumsprozesse kann man mit exp. Funktionen beschreiben. Es gibt auch lineare und quadratische und periodische usw.
Deshalb sind aber doch viele Prozesse, wenigstens eine gwisse Zeit lang exp. fkt.
Und Zwergleins Beisp. sagen dir auch, wie oft der log in der Natur vorkommt. Beim Hören "dezibel" beim Sehen usw.
Aber e selbst ist nicht "natürlicher" oder wichtiger fürs Alltagsleben als die 2 oder die 42. e Wird einfach wegen der Eigenschaften oben am häufigsten benutzt. weil man [mm] e^x [/mm] leichter ausrechnen kann (mit Computer) als [mm] 42^x [/mm] und dann gibts die einfache Umrechnung auf [mm] 2^x: 2^x=e^{ln2*x}
[/mm]
Gruss leduart
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http://www.mathe-online.at/mathint/log/i_Exkurs_log.html