Logarithmen mit Wurzeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Fr 04.01.2008 | | Autor: | qxxx |
| Aufgabe | | [mm] lg\wurzel{27}+lg\wurzel{3}-2lg3 [/mm] |
Ergebnis ist 0.
Wie löse ich die Aufgabe?
kann ich die 2 Wurzeln zusammenfassen?
[mm] \bruch{lg\wurzel{81}}{2lg3}
[/mm]
und weiter?
laut Gesetz kann ich die Wurzeln so logarythmieren:
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}lg81}{2lg3}
[/mm]
ist es richtig? wie geht es weiter?
Danke euch im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zuerst solltest du den Terme mal so zusammenfassen, dass da jeweils lg(...) steht
Also
$ [mm] lg\wurzel{27}+lg\wurzel{3}-2lg3 [/mm] $
=$ [mm] lg\wurzel{27}+lg\wurzel{3}-lg(3²) [/mm] $
Jetzt gilt ja:
lg(a)+lg(b)=lg(a*b) und lg(a)-lg(b)=lg(a/b)
Also:
[mm] lg\wurzel{27}+lg\wurzel{3}-lg(3²)
[/mm]
[mm] =lg\left(\bruch{\wurzel{27}*\wurzel{3}}{9}\right)
[/mm]
Wenn du jetzt mal ein wenig mit den Wurzelgesetzen herumspielst, ergibt sich:
[mm] lg\left(\bruch{\wurzel{27}*\wurzel{3}}{9}\right)
[/mm]
[mm] =lg\left(\bruch{\wurzel{27*3}}{\wurzel{81}}\right)
[/mm]
[mm] =lg\left(\wurzel{\bruch{81}{81}}\right)
[/mm]
=lg(1)
=0
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Tea |
$ [mm] \log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m\cdot{}\log_b(a) [/mm] $
Also kannst du alternativ auch z.B. ausnutzen, dass alle Zahlen, die du logarithmierst Potenzen von 3 sind.
[mm] log(\wurzel{27})+log(\wurzel{3})-2log(3)
[/mm]
= [mm] log(\wurzel{3^3})+log(\wurzel{3})-2log(\wurzel{3}^2)
[/mm]
= [mm] 3*log(\wurzel{3})+log(\wurzel{3})-2*2*log(\wurzel{3})
[/mm]
Aber halte dich besser an Marius Lösungsvorschlag, der greift deinen Ansatz besser auf.
Wollte dir nur eine zusätzliche Anregung geben.
Viele Grüße
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