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| Aufgabe 1 | In einem Waldgebiet lebten im Jahr 2000 nach Schätzung der Forstverwaltung 850 Füchse. Sie vermehren sich jährlich um 6,5%.
Wann mussten die Förster mit einer Ausdünnung des Bestandes beginnen, wenn nicht mehr als tausend Füchse in dem Gebiet leben sollen? |
| Aufgabe 2 | | Herr Müller und Frau Schulze legen am selben Tag bei ihren Banken Geld an. Die 800€ von Herrn Müller werden mit 2,1% pro Jahr verzinst. Frau Schulze kann ihre 850€ zu einem Zinssatz von 1% pro Halbjahr anlegen. Wann ist das Sparguthaben von Herrn Müller größer als das von Frau Schulze? |
Hallo.
Habe mich auch noch an den beiden Aufgaben versucht, komme aber wieder nicht bis zum Ende. Was fehlt denn, bzw. was ist falsch?
Aufgabe 1:
Zuerst habe ich den Wachstumsfaktor bestimmt: 1,065
Die dazugehörige Exponentialfunktion also: f(t) = [mm] 850*1,065^t [/mm]
Nach 1 Jahr wären es dann also 905 Füchse. Nach 2 Jahren 964 Füchse. Nach 3 Jahren 1026 Füchse.
Demnach hätten die Förster nach etwa 2 Jahren beginnen müssen.
Gibt es da eine andere Möglichkeit, das genau herauszufinden? Oder muss ich einfach ausprobieren???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
Selbstverständlich gibt es auch einen rechnerischen Weg.
Es gilt folgende Gleichung zu lösen:
$1000 \ = \ [mm] 850*1{,}065^t$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar.
Dankeschön :)
Aber diese Gleichung kann ich nicht lösen, da der Exponent eine unbestimmte Zahl ist.
Da tue ich mich immer schwer :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mi 08.12.2010 | | Autor: | moody |
Hallo,
wenn du die Gleichung lösen möchtest ist das schwierige eigentlicht nichtmal dass der Exponent eine Variable ist sondern die Basis.
Denn [mm] $log_{a} a^b [/mm] = b $
Wenn da z.b. steht 6.5 = [mm] 2^x [/mm] wendest du den logarithmus zur Basis 2 an
[mm] log_{2} [/mm] 6.5 = x
In deinem Fall musst du nur noch die Basis umrechnen da die meisten Taschenrechner nur [mm] log_{10}, log_{2} [/mm] oder ln kennen.
[mm] $log_{a} [/mm] b = [mm] \bruch{log_{c}b}{log_{c}a}$
[/mm]
[mm] $log_{3} [/mm] 10 = [mm] \bruch{log_{2}10}{log_{2}3}$
[/mm]
Statt [mm] log_{2} [/mm] kannst du auch jede andere Basis nehmen, aber eben eine die dein Taschenrechner kennt.
lg moody
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Bei Aufgabe 2 habe ich ebenfalls zunächst die Wachstumsfaktoren bestimmt und dann die Gleichungen aufgestellt:
Wachstumsfaktor bei Herr Müller: 1,021
Wachstumsfaktor bei Frau Schulze: 1,01
Exponentialfunktionen:
(1) = [mm] 800*1,021^t
[/mm]
(2) = 850 [mm] *1,01^t
[/mm]
Soll ich nun für beliebige t´s einsetzen und muss ausprobieren, oder gibt es einen leichteren Weg?
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Hallo rotespinne,
Deine Gleichungen sind zwar richtig, aber nicht geschickt aufgestellt.
> Bei Aufgabe 2 habe ich ebenfalls zunächst die
> Wachstumsfaktoren bestimmt und dann die Gleichungen
> aufgestellt:
>
> Wachstumsfaktor bei Herr Müller: 1,021
> Wachstumsfaktor bei Frau Schulze: 1,01
Schon hier nimmst Du zwar den Aufgabentext wörtlich, berücksichtigst aber nicht, dass der Zinssatz bei Hrn. Müller jährlich, bei Fr. Schulze aber halbjährlich angegeben wird.
> Exponentialfunktionen:
>
> (1) = [mm]800*1,021^t[/mm]
> (2) = 850 [mm]*1,01^t[/mm]
>
> Soll ich nun für beliebige t´s einsetzen und muss
> ausprobieren, oder gibt es einen leichteren Weg?
Ja, den gibt es. Rechne erst einmal Frau Schulze auf jährliche Verzinsung um. Offenbar wird halbjährliche Zinsausschüttung vorausgesetzt (was zwar finanzmathematisch nicht wahrscheinlich ist, aber was solls), so dass pro Jahr der Faktor [mm] 1,01^2=1,0201 [/mm] anzusetzen ist.
Nun kann auch das gleiche t angenommen werden, was bisher (bei Deiner Fassung nicht der Fall war.
Es sei nun $ m $ das Sparguthaben von Hrn. Müller, $ s $ das von Fr. Schulze.
Die Frage lautet dann: was ist das kleinste t, so dass
[mm] m=800*1,021^t\blue{>}850*1,0201^t=s [/mm] ist.
Dazu ist eine Gleichung zu lösen: man ersetzt das Relationszeichen [mm] \blue{>} [/mm] durch ein $ = $ und erhält eine Gleichung, die logarithmisch zu lösen ist. Das t, das man erhält, ist nicht ganzzahlig. Die gesuchte Antwort besteht in dem nächstgrößeren ganzzahligen t.
Wenn Ihr obere und untere Gaußklammern (also [mm] \lfloor x\rfloor [/mm] und [mm] \lceil x\rceil [/mm] geschrieben) hattet, dann kannst Du letztere hier verwenden, aber es geht auch ohne diese Notation, s.o.
So, jetzt Du. 
Grüße
reverend
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Danke für die geduldige Erklärung :)
Ich hatte das mit der Verzinsung jährlich und halbjährlich schon wahrgenommen, wusste aber nicht, wie ichs berücksichtigen kann...
Ich kann leider noch immer nicht weiter machen, da es mir noch sehr fremd erscheint :(
Würdest Du es mir zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 08.12.2010 | | Autor: | moody |
Hallo,
der reverend hat dir doch schon erklärt was zu tun ist.
Du hast nun die Ungleichung $ [mm] m=800\cdot{}1,021^t\blue{>}850\cdot{}1,0201^t=s [/mm] $ gegeben.
Es wurde dir ja bereits gesagt dass in eine Gleichung umzuschreiben
[mm] 800\cdot{}1,021^t [/mm] = [mm] 850\cdot{}1,0201^t
[/mm]
Und diese musst du nun noch nach t auflösen und die Hinweise in Bezug auf die Lösung die dir von reverend geschrieben wurden beachten.
lg moody
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Hallo Moody.
Ja, das habe ich geschafft, aber ich kann es nicht nach t auflösen.
Bei mir blockiert alles, wenn Variablen dabei sind.
Ich sitzte hier schon ewig vor :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mi 08.12.2010 | | Autor: | moody |
Schau dir mal meine Antwort zu deiner anderen Frage an.
Bis wohin bist du denn gekommen? Hast du denn jetzt einen Ausdruck mit t auf der einen Seite und eine Zahl auf der anderen Seite stehen?
lg moody
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Hallo nochmal.
Also die Gleichung die zu lösen war hieß:
[mm] 800*1,021^t [/mm] = [mm] 850*1,0201^t
[/mm]
Ich habe jetzt versucht umzuformen und erhalte dann:
[mm]\bruch{1,021^t}{1,0201^t}[/mm] = [mm]\bruch{850}{800}[/mm]
(Habe ich das richtig umgeformt?)
Bringt mich ja aber immernoch nicht weiter.. ich werde noch wahnsinnig..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 09.12.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
versuchs mal mit Logarithmen-Gesetzen:
[mm] $\ln(a\cdot [/mm] b) = [mm] \ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
und:
[mm] $\ln(a^b) [/mm] = [mm] b\ln(a)$
[/mm]
Also: Wende mal den Logarithmus auf beide Seiten deiner Gleichung an, und dann kannst du nach $t$ aufloesen.
LG
Kroni
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War die Gleichung denn richtig aufgelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 09.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
Die Umformungen sind korrekt. Von "aufgelöst" kann aber noch nicht die Rede sein.
Oder kennst Du jetzt $t_$ ?
Gruß
Loddar
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Umgeformt, meinte ich auch.
Na wenigstens etwas.
Ich komme auf kein Ergebnis.
Sitze nun schon seit 2 Tagen an der Aufgabe und glaube, ich kapituliere.
Ich komme nicht voran :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Do 09.12.2010 | | Autor: | moody |
Nabend,
schau dir mal das Potenzgesetz $ [mm] \bruch{a^r}{b^r}=\left(\bruch{a}{b}\right)^r [/mm] $ an.
Dann dürfte dir auf der rechten Seite deiner Gleichung schonmal etwas auffallen.
So und nun wie bereits geschrieben auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden ( Basis ist in dem Fall egal, nimm was dein Taschenrechner kennt [ Und beachte meine Hinweise wie man eine Basis umrechnet in diesem Fall nicht, würde es jetzt doch unnötig kompliziert machen]).
Dann hast du ja auf beiden Seiten deiner Gleichung log von irgendwas stehen.
Und hier dürfte $ [mm] \ln(a^b) [/mm] = [mm] b\ln(a) [/mm] $ nützlich sein.
Und ab da sollte es kein Problem mehr sein. Du kriegst die Aufgabe schon noch hin, mach dir mal keine Sorgen
lg moody
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