Log und 'Wurzeln' aus neg. Zln < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo miteinander!
2 kleine Fragen:
warum ist (log_10 (x))/(log_10 (y)) das selbe wie wenn ich anstelle von 10 irgendeine Zahl nehm?
2. Frage: also, (-1)^(1/3) ist -1, das kann man sich ja noch erklaeren (es wird die Kubikwurzelzahl gesucht die 3 mal mit sich selbst multipliziert -1 ergibt). (-1)^(1/2) geht nicht, denn - mal - ergibt +.
Soweit so gut.
Aber wie kann ich jetzt erklaeren, dass es kein (-1)^(1/30) wohl aber (-1)^(1/27) gibt?
Gerade oder ungerade spielt auch keine Rolle(im Nenner!), denn (-1)^(2/6) geht ja immernoch auf...
Welche Gesetze werden hier angewandt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:25 Do 16.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo miteinander!
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> 2 kleine Fragen:
>
> warum ist (log_10 (x))/(log_10 (y)) das selbe wie wenn ich
> anstelle von 10 irgendeine Zahl nehm?
Das verstehe ich nicht.
Die Zahl $10$ ist hier die Basis des Logarithmus.
Da kann auch etwas anderes stehen!
>
> 2. Frage: also, (-1)^(1/3) ist -1, das kann man sich ja
> noch erklaeren (es wird die Kubikwurzelzahl gesucht die 3
> mal mit sich selbst multipliziert -1 ergibt). (-1)^(1/2)
> geht nicht, denn - mal - ergibt +.
> Soweit so gut.
> Aber wie kann ich jetzt erklaeren, dass es kein
> (-1)^(1/30) wohl aber (-1)^(1/27) gibt?
> Gerade oder ungerade spielt auch keine Rolle(im Nenner!),
> denn (-1)^(2/6) geht ja immernoch auf...
>
Es gilt:
[mm] \sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}
[/mm]
> Welche Gesetze werden hier angewandt?
DieAcht
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hi, also es ging um eine sehr simple Aufgabe in der Klasse, mit Zinseszins.
Ich greif mal Zahlen aus der Luft.
[mm] K_n=K_0*(1+p/100)^n
[/mm]
[mm] 2=1*(1+5/100)^n
[/mm]
so, die 1 auf der rechten kann weg, dann log(fuer die 10) benutzen:
log(2)=log(1,05)*n |/log(1,05)
n=log(2)/log(1,05)
anstatt log_10 kann man aber auch ln(aufm TR) benutzen, was wie ich denke [mm] log_e [/mm] ist oder? da kommt dann auch das korrekte ergebnis raus.
Daher meine Frage warum ist das so?
Zu den Wurzeln:
warum geht (-1)^(1/30) nicht? und wie kann man das jemandem einfach erklaeren? bzw. ein Merksatz waere nicht schlecht ;)
Sobald vollstaendig auf ganze Zahlen gekuerzt ist, gibt der Nenner an, dass...?
Ist hier tatsaechlich gerade/ungerade entscheidend?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:01 Do 16.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hi, also es ging um eine sehr simple Aufgabe in der Klasse,
> mit Zinseszins.
> Ich greif mal Zahlen aus der Luft.
> [mm]K_n=K_0*(1+p/100)^n[/mm]
> [mm]2=1*(1+5/100)^n[/mm]
>
> so, die 1 auf der rechten kann weg, dann log(fuer die 10)
> benutzen:
> log(2)=log(1,05)*n |/log(1,05)
> n=log(2)/log(1,05)
>
> anstatt log_10 kann man aber auch ln(aufm TR) benutzen, was
> wie ich denke [mm]log_e[/mm] ist oder? da kommt dann auch das
> korrekte ergebnis raus.
>
> Daher meine Frage warum ist das so?
Jetzt verstehe ich was du meinst!
Ja, für so eine Rechnung ist die Basis irrelevant, denn es gilt:
[mm] \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}
[/mm]
Demnach kannst du jede Basis nehmen!
>
> Zu den Wurzeln:
> warum geht (-1)^(1/30) nicht? und wie kann man das
> jemandem einfach erklaeren? bzw. ein Merksatz waere nicht
> schlecht ;)
> Sobald vollstaendig auf ganze Zahlen gekuerzt ist, gibt
> der Nenner an, dass...?
>
> Ist hier tatsaechlich gerade/ungerade entscheidend?
Okay, du hast etwas nicht ganz verstanden.
Allgemein darfst du in [mm] \IR [/mm] nicht die Wurzel von negativen Zahlen ziehen.
Demnach ist der folgende Ausdruck undefiniert in [mm] \IR:
[/mm]
[mm] \sqrt[3]{-8}
[/mm]
ABER:
Wenn du nach Lösungen einer Gleichung suchst, dann gilt zum Beispiel:
[mm] $x^3=-8\Rightarrow x=\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2$
[/mm]
Du darfst auch nicht den Exponenten beliebig kürzen.
Standardbeispiel:
[mm] \ldots=(-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2
[/mm]
[mm] \ldots=(-8)^{\frac{1}{3}}=\ldots=-2 [/mm] (siehe oben)
[mm] \Rightarrow (-8)^{\frac{2}{6}}\not=(-8)^{\frac{1}{3}}
[/mm]
Ich hoffe, dass dir das nun klarer ist.
DieAcht
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Ok, das mit dem log hat sich dann geklaert.
Bei den 'Wurzeln' geht's mir nicht um's mathematisch korrekte, eher das was der taschenrechner veranstaltet.
und der kann ja sehr wohl (-8)^(2/6) rechnen.
Er kann aber nicht 1/6 rechnen, also scheint er ja selber zu kuerzen (gut, das wusste man ja vorher).
Mein Lehrer meinte, dass man aus neg. Zahlen nicht dieses 'Hoch Kehrwert des Exponenten'-verfahren machen kann, obwohl der Exponent es zulassen wuerde (3, 9, 27... oder aehnliche)
Also z.b.:
x^(8/3)=-1 | hoch 3/8
x=(-1)^(3/8)
geht ja nicht, dies sieht man aber*, und der TR gibt korrekterweise Math-error
*man wuerde versuchen eine Zahl 8 mal mit sich zu multiplizieren, und am Ende kommt -1 raus, das geht aber nich wegen -*-=+
ist der TR nicht im recht wenn er sagt (-1)^(2/6)=-1?
weil er gibt ja zumindest das Ergebnis wieder, das rauskaeme, wenn man erst das minus 'wegquadriert', und danach die Loesung sucht.
(er hat halt das *2 als Beispiel gemacht, als ich einwendete, dass dies bei ungeraden Nennern geht, wie im einfachstens Fall (-1)^(1/3) bzw. 1/5 etc.)
Bzw. sein letztes Statement war halt, dass das Ergebnis vom TR eben falsch waere(bei einem expo von 3/7).
Und darum gehts mir eigentlich.
Also ganz langsam bitte, (-x)^(1/(2n+1)) bei n,x [mm] \IN [/mm] ist doch immer loesbar oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:13 Do 16.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ok, das mit dem log hat sich dann geklaert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei den 'Wurzeln' geht's mir nicht um's mathematisch
> korrekte, eher das was der taschenrechner veranstaltet.
Das ist aber nicht sehr motivierend!
>
> und der kann ja sehr wohl (-8)^(2/6) rechnen.
>
> Er kann aber nicht 1/6 rechnen, also scheint er ja selber
> zu kuerzen (gut, das wusste man ja vorher).
>
> Mein Lehrer meinte, dass man aus neg. Zahlen nicht dieses
> 'Hoch Kehrwert des Exponenten'-verfahren machen kann,
> obwohl der Exponent es zulassen wuerde (3, 9, 27... oder
> aehnliche)
> Also z.b.:
> x^(8/3)=-1 | hoch 3/8
> x=(-1)^(3/8)
> geht ja nicht, dies sieht man aber*, und der TR gibt
> korrekterweise Math-error
>
> *man wuerde versuchen eine Zahl 8 mal mit sich zu
> multiplizieren, und am Ende kommt -1 raus, das geht aber
> nich wegen -*-=+
>
> ist der TR nicht im recht wenn er sagt (-1)^(2/6)=-1?
> weil er gibt ja zumindest das Ergebnis wieder, das
> rauskaeme, wenn man erst das minus 'wegquadriert', und
> danach die Loesung sucht.
Ich benutze seit meinem Abitur keinen Taschenrechner mehr,
aber ich kann mir vorstellen, dass es an der Eingabe liegt.
Wenn du ihm einfach den Exponent hinklatscht.
dann kommt es auf den Algorithmus des Taschenrechners an.
Wenn du ihm aber genau sagst,
dass er die 6te Wurzel aus [mm] (-1)^2 [/mm] ausrechnen soll,
dann sollte er das auch machen.
Wenn das nicht geht, dann sollte er einen Error ausgeben.
Dementsprechend könnte dein Lehrer Recht haben.
>
> (er hat halt das *2 als Beispiel gemacht, als ich
> einwendete, dass dies bei ungeraden Nennern geht, wie im
> einfachstens Fall (-1)^(1/3) bzw. 1/5 etc.)
>
>
> Bzw. sein letztes Statement war halt, dass das Ergebnis vom
> TR eben falsch waere(bei einem expo von 3/7).
>
> Und darum gehts mir eigentlich.
>
>
> Also ganz langsam bitte, (-x)^(1/(2n+1)) bei n,x [mm]\IN[/mm] ist
> doch immer loesbar oder nicht?
Kannst dir auch gerne den ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Artikel dazu durchlesen.
Dort ist auch das Standardbeispiel von meinem Post weiter oben gegeben 
DieAcht
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> 2. Frage: also, (-1)^(1/3) ist -1, das kann man sich ja
> noch erklaeren (es wird die Kubikwurzelzahl gesucht die 3
> mal mit sich selbst multipliziert -1 ergibt). (-1)^(1/2)
> geht nicht, denn - mal - ergibt +.
> Soweit so gut.
> Aber wie kann ich jetzt erklaeren, dass es kein
> (-1)^(1/30) wohl aber (-1)^(1/27) gibt?
> Gerade oder ungerade spielt auch keine Rolle(im Nenner!),
> denn (-1)^(2/6) geht ja immernoch auf...
Hallo,
es hat gute Gründe, dass man Wurzeln so definiert,
dass sie dann, wenn man sie definiert, auch den
Rechenregeln (insbesondere für das Rechnen mit
Potenzen) gehorchen. Deshalb ist die übliche Regelung
ganz einfach:
[mm] $\sqrt[n]{a}$ [/mm] ist in [mm] \IR [/mm] nur dann definiert, wenn [mm] a\ge0 [/mm] .
Dann ist $\ w\ =\ [mm] \sqrt[n]{a}$ [/mm] diejenige eindeutig bestimmte
Zahl mit [mm] w\ge0 [/mm] und [mm] w^n=a [/mm] . Damit sind jegliche Wurzeln
aus negativen Zahlen ausgeschlossen.
Bei näherer Betrachtung sind solche Wurzeln auch überhaupt
nicht nötig !
Wenn es dann etwa darum geht, eine Gleichung wie [mm] x^3=-64
[/mm]
in der Grundmenge [mm] \IR [/mm] aufzulösen, gibt es natürlich die
reelle Lösung [mm] x_1=-4 [/mm] . Diese kann man so schreiben:
$\ [mm] x_1\ [/mm] =\ [mm] -\,4\ [/mm] =\ [mm] -\,\sqrt[3]{64}$
[/mm]
Man soll aber eben nicht schreiben: $\ [mm] x_1\ [/mm] =\ [mm] -\,4\ [/mm] =\ [mm] \sqrt[3]{-\,64}$
[/mm]
Dass gewisse Taschenrechner einem Ausdruck wie [mm] $\sqrt[3]{-\,64}$
[/mm]
oder $\ [mm] (-64)^{(1/3)}$ [/mm] trotzdem den Wert -4 zuordnen, ist
nicht sehr glücklich. Man handelt sich dann eben Konflikte
mit den Rechenregeln für Potenzen ein.
LG , Al-Chwarizmi
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Ok, dann habe ich auch das verstanden.
Bzw, es hat mir den Schlaf geraubt :D
Wenn aber [mm] \wurzel[2/6]{-a} \not= \wurzel[1/3]{-a} [/mm] ist, dann sind die Potenzregeln(also im Speziellen das kuerzen) doch falsch?
Naja oder wie ihr beide schon sagt, ist es unsinnig Wurzeln aus neg. Zahlen zu ziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann habe ich auch das verstanden.
>
> Bzw, es hat mir den Schlaf geraubt :D
>
> Wenn aber [mm]\wurzel[2/6]{-a} \not= \wurzel[1/3]{-a}[/mm] ist,
Es ist [mm] \bruch{2}{6}= \bruch{1}{3}. [/mm] Ist a [mm] \le [/mm] 0, so ist
[mm]\wurzel[2/6]{-a} = \wurzel[1/3]{-a}[/mm]
FRED
> dann
> sind die Potenzregeln(also im Speziellen das kuerzen) doch
> falsch?
>
> Naja oder wie ihr beide schon sagt, ist es unsinnig Wurzeln
> aus neg. Zahlen zu ziehen.
>
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