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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Ali92 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende Ungleichung für x [mm] \in \IR [/mm] : | x - 1/4 | < x²
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. (Geben Sie das Ergebnis als Vereinigung von disjunkten Intervallen an.) |
Als ich die Ungleichung lösen wollte, fiel mir auf, dass ich noch nie Aufgaben mit Betragsstrichen aufgelöst habe.
Mein Ansatz wäre die Quadratische Ergänzung, Problem ist nur, dass ich befürchte, dass es evtl. Sonderregelungen bei Betragsstrichen gibt.
Ansatz:
- x² + | x - 1/4 | < 0 / + 1/4
- x² + x < 1/4 / : - 1
x² - x > - 1/4 /+ 0,25
x² - x + 0,25 > 0 / Ausklammern
(x - 0,5)² > 0 / Wurzel ziehen
x - 0,5 > 0 / + 0,5
x > 0,5
M : { x [mm] \in \IR [/mm] | x > 0,5}
Problem ist: für x < - 0,5 funktioniert es ja auch, wie erkenne ich das denn aber in der Gleichung und kann dies formal aufschreiben?
Ps. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ali92,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachten Sie die folgende Ungleichung für x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> x - 1/4 | < x²
>
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. (Geben Sie
> das Ergebnis als Vereinigung von disjunkten Intervallen
> an.)
>
>
> Als ich die Ungleichung lösen wollte, fiel mir auf, dass
> ich noch nie Aufgaben mit Betragsstrichen aufgelöst habe.
>
> Mein Ansatz wäre die Quadratische Ergänzung, Problem ist
> nur, dass ich befürchte, dass es evtl. Sonderregelungen
> bei Betragsstrichen gibt.
>
> Ansatz:
> - x² + | x - 1/4 | < 0 / + 1/4
> - x² + x < 1/4 / : - 1
> x² - x > - 1/4 /+ 0,25
> x² - x + 0,25 > 0 / Ausklammern
> (x - 0,5)² > 0 / Wurzel ziehen
> x - 0,5 > 0 / + 0,5
> x > 0,5
>
> M : { x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x > 0,5}
>
Das wird so aufgeschrieben: [mm]M = \left\{ x \in \IR \left|\right x > 0,5 \right\}[/mm]
> Problem ist: für x < - 0,5 funktioniert es ja auch, wie
> erkenne ich das denn aber in der Gleichung und kann dies
> formal aufschreiben?
>
Nun, mit obigen Ergebnis der Menge M hast Du den
Fall [mm] x \ge \bruch{1}{4}[/mm] behandelt.
Es gibt auch noch den Fall,. daß [mm] x < \bruch{1}{4}[/mm] ist.
Diesen Fall mußt Du noch behandeln.
>
> Ps. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Ali92 |
Wie genau löse ich das denn für x < 1/4 ? Also was ist dann meine Ausgangsgleichung?
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Hallo Ali92,
> Wie genau löse ich das denn für x < 1/4 ? Also was ist
> dann meine Ausgangsgleichung?
Für [mm]x < \bruch{1}{4}[/mm] ist [mm]x-\bruch{1}{4} < 0[/mm].
Dann ist
[mm]\vmat{x-\bruch{1}{4}}=-\left(x-\bruch{1}{4}\right)=\bruch{1}{4}-x[/mm]
Damit ist die Lösungsmenge von
[mm]\bruch{1}{4}-x < x^{2}[/mm]
zu bestimmen.
Und stelle Fragen auch als Fragen, nicht als Mitteilungen.
Gruss
MathePower
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Hallo Ali92,
bitte Rückfragen auch als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> Wie genau löse ich das denn für x < 1/4 ? Also was ist
> dann meine Ausgangsgleichung?
Du meinst Ausgangsungleichung ...
Für [mm]x<\frac{1}{4}[/mm] ist [mm]x-\frac{1}{4}<0[/mm], also [mm]\left|x-\frac{1}{4}\right|=\red{-}\left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-x[/mm]
Du hast im Falle [mm]x<\frac{1}{4}[/mm] also die Ungleichung
[mm]\frac{1}{4}-x \ < \ x^2[/mm] zu lösen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ali92 |
Vielen Dank bis hierhin.
Wenn ich umstelle komme ich von ...
1/4 - x < x² / -x²
-x² + 1/4 - x < 0 / - 1/4 / : -1
x² + x > 1/4
(x + 0,5)² > 0,5
(x + 0,5) > [mm] \wurzel{0,5}
[/mm]
... auf:
x > [mm] \wurzel{0,5} [/mm] - 0,5
So kann ich das doch aber nicht stehen lassen, kann ich das irgendwie als konkrete Zahl schreiben?
PS: Ich soll die Lösung als Vereinigung von disjunkten Intervallen angeben, wie genau mache ich das?
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Hallo Ali92,
> Vielen Dank bis hierhin.
>
> Wenn ich umstelle komme ich von ...
>
> 1/4 - x < x² / -x²
> -x² + 1/4 - x < 0 / - 1/4 / : -1
> x² + x > 1/4
> (x + 0,5)² > 0,5
> (x + 0,5) > [mm]\wurzel{0,5}[/mm]
>
Es steht doch zunächst da:
[mm]\vmat{x+0,5} > \wurzel{0,5}[/mm]
Hier musst Du zunächst die Fälle
i) [mm]x\ge-0,5[/mm]
ii) [mm]x < -0,5[/mm]
behandeln.
> ... auf:
> x > [mm]\wurzel{0,5}[/mm] - 0,5
>
> So kann ich das doch aber nicht stehen lassen, kann ich das
> irgendwie als konkrete Zahl schreiben?
>
> PS: Ich soll die Lösung als Vereinigung von disjunkten
> Intervallen angeben, wie genau mache ich das?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Di 15.11.2011 | | Autor: | Ali92 |
Vielen Dank, allen Beteiligten. Ich weiß nicht inwiefern hier Threads geschloßen werden. Falls ja, kann der gern geschloßen werden. :)
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