Lösungsmengen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in [mm] \IC [/mm] und skizzieren sie
a) z + [mm] \overline{z} [/mm] = 6
b) z - [mm] \overline{z} [/mm] = 6i
c) [mm] z\overline{z} [/mm] - z + [mm] \overline{z} [/mm] = 1 |
a)
z + [mm] \overline{z} [/mm] = 6
x + yi + x - yi = 6
2x = 6
x = 3
Frage: Ist die Skizzierung in der Zahlenebene dann eine Linie vom Ursprung bis zur 3 auf der x-Achse? da ja der Imz wegfällt?
b)
z - [mm] \overline{z} [/mm] = 6i
x + yi - x - yi = 6i
0 = 6i
Frage: Was bedeutet das? Ist das eine gültige Lösung und stellt einfach den Vektor vom Ursprung, die y Achse hoch, bis zum Punkt 6 da? Wie schreibe ich die Lösungsmenge auf?
c) [mm] z\overline{z} [/mm] - z + [mm] \overline{z} [/mm] = 1
(x + yi)(x - yi) - (x + yi) + (x - yi) = 1
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi = 1
Frage: Ich habe wirklich keinen schimmer wie ich das skizieren soll. x und y sind nicht definiert deshalb kann ich das doch unmöglich darstellen. Wie schreibe ich hier die Lösungsmenge auf?
Danke für die guten Tips. Ich hoffe meine Fragen penetrieren nicht ;)
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Hallo Mammutbaum,
> Bestimmen sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen
> in [mm]\IC[/mm] und skizzieren sie
>
> a) z + [mm]\overline{z}[/mm] = 6
>
> b) z - [mm]\overline{z}[/mm] = 6i
>
> c) [mm]z\overline{z}[/mm] - z + [mm]\overline{z}[/mm] = 1
> a)
>
> z + [mm]\overline{z}[/mm] = 6
>
> x + yi + x - yi = 6
>
> 2x = 6
>
> x = 3
>
> Frage: Ist die Skizzierung in der Zahlenebene dann eine
> Linie vom Ursprung bis zur 3 auf der x-Achse? da ja der Imz
> wegfällt?
Nein, die Gleichung [mm]z + \overline{z} = 6[/mm] trifft nur
eine Aussage über x, nicht jedoch über y.
Somit wird die Gleichung, von allen komplexen Zahlen
[mm]z=3+i*y, \ y \in \IR[/mm]
erfüllt.
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> b)
>
> z - [mm]\overline{z}[/mm] = 6i
>
> x + yi - x - yi = 6i
Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen:
[mm]x+y*i-\left(x-yi\right)=6i[/mm]
>
> 0 = 6i
>
> Frage: Was bedeutet das? Ist das eine gültige Lösung und
> stellt einfach den Vektor vom Ursprung, die y Achse hoch,
> bis zum Punkt 6 da? Wie schreibe ich die Lösungsmenge auf?
>
> c) [mm]z\overline{z}[/mm] - z + [mm]\overline{z}[/mm] = 1
>
> (x + yi)(x - yi) - (x + yi) + (x - yi) = 1
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 2yi = 1
Hier erhältst Du zwei Gleichungen, die die komplexe Zahl bestimmt.
>
> Frage: Ich habe wirklich keinen schimmer wie ich das
> skizieren soll. x und y sind nicht definiert deshalb kann
> ich das doch unmöglich darstellen. Wie schreibe ich hier
> die Lösungsmenge auf?
>
> Danke für die guten Tips. Ich hoffe meine Fragen
> penetrieren nicht ;)
Gruss
MathePower
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Oke das Prinzip bei a hab ich dann soweit verstanden. Somit müsste b) dann wie folgt beschrieben werden:
x + yi - x + yi
2yi = 6i
y = 3
Und die Komplexe Zahl wäre somit z = x + 3i
Also ist a) zeichnerisch gelöst ein Punkt mit x = 3 und einem positiven Wert für y und bei b) sieht das ganze dann andersherum aus? Wie skizziere ich diesen Fall?
Das mit den 2 Lösungen bei Aufgabe c hab ich nicht so ganz verstanden.
Kannst du mir das vielleicht noch einmal erläutern?
Danke vielmals
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Hallo Mammutbaum,
> Oke das Prinzip bei a hab ich dann soweit verstanden. Somit
> müsste b) dann wie folgt beschrieben werden:
>
> x + yi - x + yi
>
> 2yi = 6i
>
> y = 3
>
> Und die Komplexe Zahl wäre somit z = x + 3i
>
> Also ist a) zeichnerisch gelöst ein Punkt mit x = 3 und
> einem positiven Wert für y und bei b) sieht das ganze dann
> andersherum aus? Wie skizziere ich diesen Fall?
Im Fall a) ist das eine senkrechte Gerade bei x=3.
Im Fall b) ist das waagrechte Gerade bei y=3.
>
> Das mit den 2 Lösungen bei Aufgabe c hab ich nicht so ganz
> verstanden.
> Kannst du mir das vielleicht noch einmal erläutern?
Angenommen, Du hast folgende Gleichung:
[mm]a+b*i = c+d*i, \ a,b,c,d \in \IR[/mm]
Dann ist die Gleichheit nur gewährleistet, wenn die Gleichungen
[mm]a=c[/mm]
[mm]b=d[/mm]
erfüllt sind.
>
> Danke vielmals
Gruss
MathePower
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Oke, damit wären a und b gelöst.
sieht das ganze bei c dann so aus, dass die 1 x oder y definieren kann und man dann aus [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi = 1 zum einen:
1 + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi
und zum anderen:
[mm] x^{2} [/mm] + 1 - 2i
erhält?
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Hallo Mammutbaum,
> Oke, damit wären a und b gelöst.
>
> sieht das ganze bei c dann so aus, dass die 1 x oder y
> definieren kann und man dann aus [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 2yi = 1
> zum einen:
>
> 1 + [mm]y^{2}[/mm] - 2yi
>
> und zum anderen:
>
> [mm]x^{2}[/mm] + 1 - 2i
>
> erhält?
Nein.
Aus obiger Gleichung ergeben sich weitere Gleichungen:
[mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm]
[mm]-2*y=0[/mm]
Gruss
MathePower
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Also entstehen daraus die komplexen Zahlen:
z = 1 + yi
und
z = x + 2i
und daraus dann
z = 1 + 2i
?
Wie kommt man darauf Imaginärteil und Realteil von [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi = 1 voneinander zu trennen? verstehe das Prinzip dahinter nicht.
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Hallo Mammutbaum,
> Also entstehen daraus die komplexen Zahlen:
>
> z = 1 + yi
>
> und
>
> z = x + 2i
>
> und daraus dann
>
> z = 1 + 2i
>
> ?
Nein.
>
> Wie kommt man darauf Imaginärteil und Realteil von [mm]x^{2}[/mm] +
> [mm]y^{2}[/mm] - 2yi = 1 voneinander zu trennen? verstehe das
> Prinzip dahinter nicht.
Nun, zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich,
wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen.
Gruss
MathePower
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Wie verwerte ich nun die Gleichungen die ich erhalten habe. Und warum geht es hier um die "gleichheit" zweier komplexer Zahlen. [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi stellt doch nur eine Komplexe Zahl dar. Kann mir vielleicht jemand sagen wieso daraus jetzt die zwei Gleichungen entstehen? Vielleicht bin ich auch schwer von Begriff.
Ich würde das wirklich gerne verstehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1=1+0*i
2 komplexe Zahlen sind genau dann gleich wenn ihre Re Teile UND ihre Im Teile gleich sinf.
Gruss leduart
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Oke, ich glaube so langsam verstehe ich es.
Also der Ausdruck:
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi = 1
kann auch dargestellt werden als
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2yi = 1 + 0i
Und damit muss y = 0 sein und x = 1 (oder auch -1?)
Die Menge ist dann {1+0i} also quasi er Abstand vom ursprung über die X Achse zum Punkt 1?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast y=0 [mm] x^2=1 [/mm] also die 2 Lösungen z=1 und z=-1
2 einzelne Punkte auf der reellen Achse.
den Satz"Die Menge ist dann {1+0i} also quasi er Abstand vom ursprung über die X Achse zum Punkt 1?"
schon "quasi" sollte man nie benutzen, denn niemand weiss was du damit meinst. Oder hast du das quasi verstanden?
Die menge ist immer ne Punktmenge,sicher kein Abstand; entweder wie in den 2 anderen Fällen alle Punkte einer Geraden, oder hier eben 2 einzelne Punkte .
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Mammutbaum |
Ich glaube so langsam Blick ich da durch. Danke für die Mühe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Oke das Prinzip bei a hab ich dann soweit verstanden. Somit
> müsste b) dann wie folgt beschrieben werden:
>
> x + yi - x + yi
>
> 2yi = 6i
>
> y = 3
>
> Und die Komplexe Zahl wäre somit z = x + 3i
>
> Also ist a) zeichnerisch gelöst ein Punkt mit x = 3 und
> einem positiven Wert für y
wieso ein Punkt? unendlich viele Punkte, wo liegen sie?
>und bei b) sieht das ganze dann
> andersherum aus? Wie skizziere ich diesen Fall?
wieder unendlich viele Lösung auf welchen geometrischen Ort liegen sie?
> Das mit den 2 Lösungen bei Aufgabe c hab ich nicht so ganz
> verstanden.
> Kannst du mir das vielleicht noch einmal erläutern?
Was hast du denn raus? Re(Ergebnis)=1 IM(Ergebnis) =0
was kommt dabei für x und y raus?
Gruss leduart
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