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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 25.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es soll die Lösungsmenge und die Basismenge folgender Gleichungssysteme angegeben werden:
i)
in [mm] $\IR^{4}$
[/mm]
$4a+2b+10c+2d=0$
$a-b+c=0$
$2a+b+5c+d=0$
ii)
in [mm] $\IC^{3}$
[/mm]
$ia+2b-ic=0$
$3a-3ib=0$
$2a-ib+c=0$ |
Hallo!
bei a)
Die erste Zeile habe ich weggestrichen.
Dann [mm] $a=\alpha$ [/mm] und [mm] $b=\beta$ [/mm] gesetzt. Diese in die Gleichungen für $c$ und $d$ umgeformt.
das habe ich für die Menge bekommen:
[mm] $\vektor{\alpha \\ \beta \\ \beta-\alpha \\ \alpha-2\beta}$ [/mm] wobei [mm] $\alpha, \beta \in \IR$ [/mm]
für die Basen: [mm] $dim_{\IR}\IL=2$ \overrightarrow{b}_{1}=\vektor{1\\0\\-1\\-1} $\overrightarrow{b}_{2}=\vektor{0\\1\\1\\-2}$
[/mm]
bei b)
Hier habe ich eliminiert und es bleibt nur die erste Zeile übrig.
das ergibt mir für die Lösungsmenge :
[mm] $\vektor{\alpha\\ \beta \\ -\alpha + (2\beta)i}$ [/mm] wobei [mm] $\alpha,\beta \in \IC$
[/mm]
und für die Basen:
[mm] $dim_{\IC}\IL=2$ $\overrightarrow{b}_{1}=\vektor{1\\0\\-1}$ $\overrightarrow{b}_{2}=\vektor{0\\1\\2i}$
[/mm]
Ist das richtig und auch richtig aufgeschrieben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke.
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> Es soll die Lösungsmenge und die Basismenge folgender
> Gleichungssysteme angegeben werden:
>
> i)
> in [mm]\IR^{4}[/mm]
> [mm]4a+2b+10c+2d=0[/mm]
> [mm]a-b+c=0[/mm]
> [mm]2a+b+5c+d=0[/mm]
>
> ii)
> in [mm]\IC^{3}[/mm]
>
> [mm]ia+2b-ic=0[/mm]
> [mm]3a-3ib=0[/mm]
> [mm]2a-ib+c=0[/mm]
>
> Hallo!
>
> bei a)
> Die erste Zeile habe ich weggestrichen.
Hallo,
das kann man tun, weil sie ein Vielfaches einer anderen Zeile ist.
> Dann [mm]a=\alpha[/mm] und [mm]b=\beta[/mm] gesetzt. Diese in die Gleichungen
> für [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm] umgeformt.
Prinzipiell aknn man das so machen.
>
> das habe ich für die Menge bekommen:
>
> [mm]\vektor{\alpha \\
\beta \\
\beta-\alpha \\
\alpha-2\beta}[/mm]
> wobei [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
Du hast Dich bei Deinen Umformungen offenbar verrechnet.
>
> für die Basen: [mm]dim_{\IR}\IL=2[/mm] ,
also besteht jede basis aus zwei Vektoren.
> [mm]\overrightarrow{b}_{1}=\vektor{1\\
0\\
-1\\
-1}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{b}_{2}=\vektor{0\\
1\\
1\\
-2}[/mm]
Wenn Du Deine Basisvektoren oben einsetzt, siehst Du, daß Du Dich verrechnet hast.
>
>
> bei b)
> Hier habe ich eliminiert und es bleibt nur die erste Zeile
> übrig.
Das kann doch nicht sein.
Du mußt Dich vertan haben.
Mal abgesehen davon zur Schreibweise:
>
> das ergibt mir für die Lösungsmenge :
>
> [mm] L=\{\vektor{\alpha\\ \beta \\ -\alpha + (2\beta)i} | \alpha,\beta \in \IC\}
[/mm]
Die Dimension des Lösungsraumes ist
> [mm] $dim_{\IC}\IL=2$,
[/mm]
>
> und für die Basen:
Eine Basis des Lösungsraumes wird aufgespannt von
>
> [mm]\overrightarrow{b}_{1}=\vektor{1\\
0\\
-1}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{b}_{2}=\vektor{0\\
1\\
2i}[/mm]
Falls das Gaußverfahren besprochen wurde, solltest Du Dich ggf. damit vertraut machen - ich kann nicht erkennen, ob Du es verwendet hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mo 25.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke für die Korrekturen.
So habe ich jetzt bei a) umgeformt:
$ 2a+b+5c+d=0 $
$ a-b+c=0 $
[mm] $a=\alpha$ $b=\beta$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $c= [mm] \beta [/mm] - [mm] \alpha$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $ d = [mm] 3\alpha-6\beta [/mm] $
also für die Lösungsmenge:
[mm] $\IL=$ $\{\vektor{\alpha\\ \beta \\ \beta-\alpha \\ 3\alpha-6\beta}| \alpha, \beta \in \IR \}$ [/mm]
und die Basen:
[mm] $b_{1}=\vektor{1\\0\\-1\\3}$ $b_{2}=\vektor{0\\1\\1\\-6}$
[/mm]
bei b) habe ich so umgeformt:
[mm] $\pmat{ i & 2 & -i \\ 3 & -3i & 0\\ 2 & -i& 1}$
[/mm]
[mm] $\pmat{ -1 & 2i & 1 \\ 3 & -3i & 0\\ 0 & 3i& 3}$
[/mm]
[mm] $\pmat{ -1 & 2i & 1 \\ 0 & 3i & 3\\ 0 & 3i& 3}$
[/mm]
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> Danke für die Korrekturen.
>
>
> So habe ich jetzt bei a) umgeformt:
>
>
> [mm]2a+b+5c+d=0[/mm]
> [mm]a-b+c=0[/mm]
> [mm]a=\alpha[/mm] [mm]b=\beta[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]c= \beta - \alpha[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]d = 3\alpha-6\beta[/mm]
>
> also für die Lösungsmenge:
> [mm]\IL=[/mm] [mm]\{\vektor{\alpha\\
\beta \\
\beta-\alpha \\
3\alpha-6\beta}| \alpha, \beta \in \IR \}[/mm]
Hallo,
ja, das ist jetzt richtig.
>
> und die Basen:
das sind keine Basen! Das sind zwei Basisvektoren, die zusammen eine Basis bilden.
>
> [mm]b_{1}=\vektor{1\\
0\\
-1\\
3}[/mm] [mm]b_{2}=\vektor{0\\
1\\
1\\
-6}[/mm]
>
>
>
> bei b) habe ich so umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ i & 2 & -i \\
3 & -3i & 0\\
2 & -i& 1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2i & 1 \\
3 & -3i & 0\\
0 & 3i& 3}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2i & 1 \\
0 & 3i & 3\\
0 & 3i& 3}[/mm]
Ja, soweit ist das richtig.
Jetzt kann die letzte zeile weg, man behält
[mm] $\pmat{ -1 & 2i & 1 \\ 0 & 3i & 3\\ 0 & 0& 0}$.
[/mm]
Multiplikation der 1. Zeile mit -1 und
Division der 2.Zeile durch 3i ergibt
[mm] $\pmat{ 1 & -2i & -1 \\ 0 & 1 & -i\\ 0 & 0& 0}$
[/mm]
Du kannst jetzt die dritte Variable als freie Variable nehmen und setzen c=t.
Drücke nun b und a in Abhängigkeit von t aus.
Gruß v. Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 25.10.2010 | | Autor: | kushkush |
> Du kannst jetzt die dritte Variable als freie Variable nehmen und setzen c=t.
> Drücke nun b und a in Abhängigkeit von t aus.
$a-2ib-c=0$
$b-ic=0$
$c=t$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $b=ti$ und $a=t$
also [mm] $\IL=\{\vektor{t\\ti\\t}|t\in\IC\}$ [/mm]
[mm] $dim_{\IC}L=1$
[/mm]
Basisvektor: [mm] $b_{1}=\vektor{1\\i\\1}$
[/mm]
Danke
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> > Du kannst jetzt die dritte Variable als freie Variable
> nehmen und setzen c=t.
> > Drücke nun b und a in Abhängigkeit von t aus.
>
>
> [mm]a-2ib-c=0[/mm]
> [mm]b-ic=0[/mm]
> [mm]c=t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]b=ti[/mm] und [mm]a=t[/mm]
>
> also [mm]\IL=\{\vektor{t\\
ti\\
t}|t\in\IC\}[/mm]
>
> [mm]dim_{\IC}L=1[/mm]
>
> Basisvektor: [mm]b_{1}=\vektor{1\\
i\\
1}[/mm]
Hallo,
kontrolliere Deine Ergebnisse doch durch Einsetzen.
Wenn Du dies tust, dann merkst Du, daß das Ergebnis nicht stimmt, obgleich
>
> Du prinzipiell richtig vorgehst.
Gruß v. Angela
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Di 26.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Auch mit Kontrolle bin ich bei dieser Rechnung anscheinend immer sehr fehleranfällig.
Danke jedenfalls für die Hilfe.
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