Lösungsmenge ist affiner Raum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:52 So 15.12.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Sei im Rn die Matrix A = [mm] (a_{i}_{j}) [/mm] mit i [mm] \in [/mm] (1,...,n) und j [mm] \in [/mm] (1,...,m) b = [mm] (b_{1},b_{2},...,b_{n}) [/mm] und x = [mm] (x_{1},x_{2},...,x_{n})
[/mm]
Man betrachte das Gleichungssystem S: Ax=b
Zeigen Sie: Ist das Gleichungssystem (S) lösbar, so ist L ein affiner Unterraum des Rn. |
Die Lösungsmenge ist : [mm] {(x_{1},x_{2},...,x_{n}) \in Rn; \summe_{j=1}^{n}
a_{i}_{j} x_{j} = b_{i} , i=1,...,n }
[/mm]
L ist ungleich leere Menge also lösbar wenn RgA=Rg(A,b)
Wenn dies der Fall ist dann ergibt sich L als (1) eine spezielle Lösung p von S und (2) der Lösungsmenge des homogenen Systems W: [mm] {\summe_{j=1}^{n}
a_{i}_{j} x_{i}, i=1,...,m}
[/mm]
Denn: W ist ein linearer Unterraum des Rn weil W [mm] \subseteq [/mm] Rn und für alle u,v [mm] \in [/mm] W gilt A(u+v)=A(u)+A(v)=0+0=0 [mm] \in [/mm] W
sowie für u [mm] \in [/mm] W und a [mm] \in [/mm] Rn
A(au)=aA(u)=a0=0 [mm] \in [/mm] W
Falls nun p eine Lösung des Gleichungssystems S ist dann muss p+u mit u [mm] \in [/mm] W ebenfalls eine Lösung von S sein da A(p+u)=A(p)+A(u)=b+0=b
Also ist L(S)= p+ W= {p+u, u [mm] \in [/mm] W} und W ist ein linearer Unterraum von Rn, sowie p ein Vektor [mm] \in [/mm] Rn (die Lösung p liegt nach Vorraussetzung in Rn). Damit ist L(S) ein affiner Unterraum von Rn.
Unsicher bin ich mir besonders bei W als linearer Unterraum. Zeige ich das ausreichend? Wie könnte ich das noch begründen, bzw. sollte ich die Verwendung von A(u+v)=A(u)+A(v) noch begründen?
Wie immer vielen Dank im Vorraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 So 15.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei im Rn die Matrix A = [mm](a_{i}_{j})[/mm] mit i [mm]\in[/mm] (1,...,n)
> und j [mm]\in[/mm] (1,...,m) b = [mm](b_{1},b_{2},...,b_{n})[/mm] und
> x = [mm](x_{1},x_{2},...,x_{n})[/mm]
> Man betrachte das Gleichungssystem S: Ax=b
> Zeigen Sie: Ist das Gleichungssystem (S) lösbar, so ist L
> ein affiner Unterraum des Rn.
>
> Die Lösungsmenge ist : [mm]{(x_{1},x_{2},...,x_{n}) \in Rn; \summe_{j=1}^{n}
a_{i}_{j} x_{j} = b_{i} , i=1,...,n }[/mm]
>
> L ist ungleich leere Menge also lösbar wenn RgA=Rg(A,b)
> Wenn dies der Fall ist dann ergibt sich L als (1) eine
> spezielle Lösung p von S und (2) der Lösungsmenge des
> homogenen Systems W: [mm]{\summe_{j=1}^{n}
a_{i}_{j} x_{i}, i=1,...,m}[/mm]
>
> Denn: W ist ein linearer Unterraum des Rn weil W [mm]\subseteq[/mm]
> Rn und für alle u,v [mm]\in[/mm] W gilt A(u+v)=A(u)+A(v)=0+0=0 [mm]\in[/mm]
> W
> sowie für u [mm]\in[/mm] W und a [mm]\in[/mm] Rn
>
> A(au)=aA(u)=a0=0 [mm]\in[/mm] W
>
> Falls nun p eine Lösung des Gleichungssystems S ist dann
> muss p+u mit u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W ebenfalls eine Lösung von S sein da
> A(p+u)=A(p)+A(u)=b+0=b
>
> Also ist L(S)= p+ W= {p+u, u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W} und W ist ein linearer
> Unterraum von Rn, sowie p ein Vektor [mm]\in[/mm] Rn (die Lösung p
> liegt nach Vorraussetzung in Rn). Damit ist L(S) ein
> affiner Unterraum von Rn.
>
> Unsicher bin ich mir besonders bei W als linearer
> Unterraum. Zeige ich das ausreichend? Wie könnte ich das
> noch begründen, bzw. sollte ich die Verwendung von
> A(u+v)=A(u)+A(v) noch begründen?
> Wie immer vielen Dank im Vorraus!
Du hast alles richtig gemacht . Bis auf ..... " Vorraus ". Wie schribt man das korrekt ?
FRED
|
|
|
|
