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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
| Aufgabe | Finden sie alle z [mm] \in \IC, [/mm] für die gilt:
|z| = i [mm] z^{2} [/mm] |
Hallo,
ich benötige bitte einen kleinen Denkanstoß zu der vorliegenden Aufgabe. Ich will zur Aufgabenlösung jedoch unbedingt die komplexe e-Funktion verwenden.
Bevor ich meinen "Ansatz" präsentiere, kurz eine Frage vorweg:
Was bedeutet geometrisch gesehen die Multiplikation mit i?
Hier der Ansatz:
Ich habe
i durch [mm] e^{\bruch{\pi i}{2}} [/mm] ersetzt
|z| durch [mm] re^{\gamma i}
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] durch [mm] r^{2}e^{2\gamma i}
[/mm]
wodurch sich dann ergibt:
r [mm] e^{\gamma i} [/mm] = [mm] e^{\bruch{\pi i}{2}} r^{2} e^{2\gamma i}
[/mm]
|r| [mm] |e^{\gamma i}| [/mm] = [mm] r^{2} e^{2\gamma i\bruch{\pi i}{2}}
[/mm]
Nun hänge ich fest.
Wie kann ich weiter vereinfachen?
Habe ich schon einen Fehler gemacht?
mit freundlichen Grüßen und Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Finden sie alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die gilt:
>
> |z| = i [mm]z^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich benötige bitte einen kleinen Denkanstoß zu der
> vorliegenden Aufgabe. Ich will zur Aufgabenlösung jedoch
> unbedingt die komplexe e-Funktion verwenden.
Hm, ich weiß nicht, ob das notwendig ist. Bedenke insbesondere, dass der Betrag einer komplexen Zahl eine nichtnegative reelle Zahl ist!
> Bevor ich meinen "Ansatz" präsentiere, kurz eine Frage
> vorweg:
>
> Was bedeutet geometrisch gesehen die Multiplikation mit i?
i*z dreht z in der Gauß'schen Ebene um [mm] \pi/2 [/mm] in positiver Drehrichtung (also gegen den Uhrzeigersinn).
>
> Hier der Ansatz:
> Ich habe
>
> i durch [mm]e^{\bruch{\pi i}{2}}[/mm] ersetzt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> |z| durch [mm]re^{\gamma i}[/mm]
Das kannst du noch konsequenter machen. Da
[mm] \left|e^{\gamma*i}\right|=1
[/mm]
kann man genauso gut
|z|=r
setzen.
>
> [mm]z^{2}[/mm] durch [mm]r^{2}e^{2\gamma i}[/mm]
>
> wodurch sich dann ergibt:
>
> r [mm]e^{\gamma i}[/mm] = [mm]e^{\bruch{\pi i}{2}} r^{2} e^{2\gamma i}[/mm]
>
> |r| [mm]|e^{\gamma i}|[/mm] = [mm]r%5E%7B2%7D%20e%5E%7B2%5Cgamma%20i%5Cbruch%7B%5Cpi%20i%7D%7B2%7D%7D[/mm]
>
> Nun hänge ich fest.
>
Meiner Ansicht nach bringt dir dieser Ansatz nichts. Ich würde einfach mit der kartesischen Form den Ansatz
[mm] i*z^2\in\IR
[/mm]
verfolgen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
Hallo Diophant,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Stimmt, das könnte ich echt einfacher schreiben :O
Danke schonmal dafür.
Sorry, ich habe mich wohl etwas unklar ausgedrückt:
Ich MUSS mit komplexen e-Funktionen lösen.
Edit: Habe die Drehung um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] nun verstanden
Grüße
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Hallo,
dann schauen wir uns doch mal deine Gleichung in Eulerdarstellung nochmal genau an:
[mm] r=r^2*i*e^{2i*\gamma}=r^2*e^{i*\left(2\gamma+\bruch{\pi}{2}\right)}
[/mm]
Mit [mm] r_1=0 [/mm] vereinfacht sich das zu
[mm] e^{i*\left(2\gamma+\bruch{\pi}{2}\right)}=\bruch{1}{r}
[/mm]
wobei wie gesagt die rechte Seite jetzt eine positive (reelle!) Zahl sein muss. Was sollte demnach für das Argument auf der linken Seite (also den Exponenten) gelten?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 09.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Finden sie alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die gilt:
>
> |z| = i [mm]z^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich benötige bitte einen kleinen Denkanstoß zu der
> vorliegenden Aufgabe. Ich will zur Aufgabenlösung jedoch
> unbedingt die komplexe e-Funktion verwenden.
> Bevor ich meinen "Ansatz" präsentiere, kurz eine Frage
> vorweg:
>
> Was bedeutet geometrisch gesehen die Multiplikation mit i?
>
> Hier der Ansatz:
> Ich habe
>
> i durch [mm]e^{\bruch{\pi i}{2}}[/mm] ersetzt
>
> |z| durch [mm]re^{\gamma i}[/mm]
>
> [mm]z^{2}[/mm] durch [mm]r^{2}e^{2\gamma i}[/mm]
>
> wodurch sich dann ergibt:
>
> r [mm]e^{\gamma i}[/mm] = [mm]e^{\bruch{\pi i}{2}} r^{2} e^{2\gamma i}[/mm]
>
> |r| [mm]|e^{\gamma i}|[/mm] = [mm]r^{2} e^{2\gamma i\bruch{\pi i}{2}}[/mm]
>
> Nun hänge ich fest.
>
> Wie kann ich weiter vereinfachen?
> Habe ich schon einen Fehler gemacht?
>
> mit freundlichen Grüßen und Vielen Dank im Voraus
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Aus
|z| = i [mm]z^{2}[/mm]
folgt
[mm] |z|=|z|^2,
[/mm]
also
z=0 oder |z|=1.
Ist |z|=1, so haben wir
[mm] $1=i*z^2$,
[/mm]
also [mm] $z^2=-i$
[/mm]
Es ist [mm] z=e^{it} [/mm] mit $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$
[/mm]
Finde also alle $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$ [/mm] mit
cos(2t)=0 und sin(2t)=-1.
FRED
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