Lösungsmenge einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 06.04.2007 | | Autor: | eXile |
| Aufgabe | Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
[mm]f'(x)*f^2(x)=x; x\in\IR; f(x)>0[/mm] |
Ich bin grad bei meinen Abiturvorbereitungen auf diese Differentialgleichung gestoßen. Bis jetzt kam ich mit den DGL sehr gut zurecht, nur irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch.
Ich habe zunächst versucht, beide Seiten via partieller Integration zu integrieren, jedoch bringt das nichts - es sei denn ich habe irgendwo einen Fehler gemacht:
[mm] \integral{f'(x)*f^2(x) dx}=f(x)*f^2(x)-\integral{f(x)*2*f(x)*f'(x) dx}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
hast du es schon mal mit Trennung der Variablen probiert oder wie habt ihr sonst immer DGl in der Schule gelöst.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo eXile,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn Du in Deiner Gleichung der partiellen Integration etwas zusammenfasst, erhaältst Du doch:
[mm] $\blue{\integral{f'(x)*f^2(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] f^3(x)-2*\blue{\integral{f'(x)*f^2(x) \ dx}} [/mm] $
Nun kannst du diese Gleichung nach [mm] $3*\blue{\integral{f'(x)*f^2(x) \ dx}} [/mm] \ = \ ...$ umstellen und bist fast fertig.
Schneller bist Du m.E. mit der DGL aber durch das Vafahren der Trennung der Variablen:
[mm] $\blue{f'(x)}*\red{f^2(x)} [/mm] \ = \ x$
[mm] $\gdw$ $\blue{\bruch{dy}{dx}}*\red{y}^2 [/mm] \ = \ x$
[mm] $\gdw$ $\green{\integral}{y^2 \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \green{\integral}{x \ dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{1}{3}y^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + C$
usw.
Gruß
Loddar
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:29 Fr 06.04.2007 | | Autor: | eXile |
Danke, das wars! Eigentlich hätte ich selber drauf kommen müssen, schließlich hatte ich so etwas auch schon einmal in Verbindung mit den Additionstheoremen bei der Ableitung von trigonometrischen Funktionen gemacht. Nochmals danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 Sa 07.04.2007 | | Autor: | eXile |
| Aufgabe | Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
[mm]f'(x)*x^2+f(x)*2x=x; x\in\IR\setminus\{0\}[/mm] |
Noch eine Frage. Ich habe die folgende Lösungsmenge bestimmt:
[mm]\begin{array}{r c l}f'(x)*x^2+f(x)*2x&=&x \\
\bruch{dy}{dx}*x^2+y*2x&=&x \\
\integral{x^2 \ dy}+\integral{2xy \ dx}&=&\integral{x \ dx} \\
x^2y+x^2y&=&\bruch{1}{2}x^2+c \\
2x^2y&=&\bruch{1}{2}x^2+c \\
y&=&\bruch{1}{4}+\bruch{c}{2x^2} \\
f(x)&=&\bruch{1}{4}+\bruch{c}{2x^2}\end{array}[/mm]
Da scheint sich wieder ein Fehler eingeschlichen zu haben, denn die Probe ergibt:
Funktion: [mm]f(x)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{c}{2x^2}&=&\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}cx^{-2}[/mm]
Erste Ableitung: [mm]f'(x)&=&-cx^{-3}[/mm]
[mm]\begin{array}{r c l}f'(x)*x^2+f(x)*2x&=&x \\
-cx^{-3}*x^2+(\bruch{1}{4}+\bruch{c}{2x^2})*2x&=&x \\
-\bruch{c}{x}+\bruch{1}{2}x+\bruch{c}{x}&=&x \\
\bruch{1}{2}x&\not=&x\end{array}[/mm]
Wo hab ich schon wieder den Fehler reingebaut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:44 Sa 07.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
> [mm]f'(x)*x^2+f(x)*2x=x; x\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
> Noch eine
> Frage. Ich habe die folgende Lösungsmenge bestimmt:
so kannst du die Dgl nicht loesen! y ist keine Konstante, sondern ne fkt von x, also kannst du die Integrale dy , die du hingeschrieben hast nicht loesen.
Du verwechselst das mit der Separation der Variable, wo du auf einer Sete nur f,f' bzw. y,y' stehen hast, auf der anderen nur explizite fkt von x.
hier kannst du direkt nur die homogene Dgl:
[mm] f'(x)*x^2+f(x)*2x=0 [/mm] loesen mit dem Ansatz:
[mm] f'*x^2=-f*2x: [/mm] f'/f=-2/x jetzt integrieren.
Dann eine einzelne Loesung der inhomogenen suchen mit dem Ansatz f=A einsetzen, A bestimmen und diese Loesung zur allgemeinen der inhomogenen addieren.
Gruss leduart
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