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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
| Aufgabe | [mm] (a-b)x^{2} [/mm] -bx -a =0
-Bestimme die Lösungsmenge (Lösung im Buch { [mm] \bruch{a}{a-b}; [/mm] -1})
Quelle: Gellrich/Gellrich Mathematik Band 1, 4. Auflage, S.41, Aufg. 1.317 |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal! Toll dass es so ein Forum gibt!
Ich habe leider im Moment einen Knoten. Und zwar scheitere ich beim Versuche die obengenannte Gleichung zu lösen. Auf konventionellem Wege gehts nicht, da scheitert es nach dem Ausklammern [mm] [ax^{2} -bx^{2} [/mm] -bx -a].
Zudem sind offenbar 2 Lösungen gefragt, riecht also nach VIETA. Da scheitert es aber (mal von der fehlenden Potenzstufen) daran, dass es ja alles Parameter sind.
Denke ich zu weit oder zuwenig weit?;o)
Vielen Dank für eure Hilfe,
Chris
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Hallo Chris und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm](a-b)x^{2}[/mm] -bx -a =0
> -Bestimme die Lösungsmenge (Lösung im Buch [mm] \{\bruch{a}{a-b};-1\})
[/mm]
>
> Quelle: Gellrich/Gellrich Mathematik Band 1, 4. Auflage,
> S.41, Aufg. 1.317
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo erstmal! Toll dass es so ein Forum gibt!
Ja, finde ich auch 
>
> Ich habe leider im Moment einen Knoten. Und zwar scheitere
> ich beim Versuche die obengenannte Gleichung zu lösen. Auf
> konventionellem Wege gehts nicht, da scheitert es nach dem
> Ausklammern [mm][ax^{2} -bx^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-bx -a].
Hmm was hast du denn ausgeklammert?
Klammere $(a-b)$ aus, dann bekommst du:
$(a-b)x^2-bx-a=0\gdw (a-b)\cdot{}\left[x^2-\frac{b}{a-b}x-\frac{a}{a-b}\right]=0$
Also untersuche, wann $x^2-\frac{b}{a-b}x-\frac{a}{a-b}=0$ ist
Ich würde feste mit der p/q-Formel draufhauen:
$\Rightarrow x_{1,2}=-\left(-\frac{b}{2(a-b)}\right)\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2(a-b)}\right)^2-\left(-\frac{a}{(a-b)}\right)}$
$=\frac{b}{2(a-b)}\pm\sqrt{\frac{b^2+a\cdot{}\blue{4(a-b)}}{4(a-b)^2}$
Jetzt schaue dir mal genau den Zähler unter der Wurzel an, fasse das mal zusammen, dann wird der Knoten platzen
> Zudem sind offenbar 2 Lösungen gefragt, riecht also nach
> VIETA.
Puh, einfacher erscheint mir doch die p/q-Formel
> Da scheitert es aber (mal von der fehlenden Potenzstufen) daran, dass es ja alles Parameter sind.
> Denke ich zu weit oder zuwenig weit?;o)
>
> Vielen Dank für eure Hilfe,
>
> Chris
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, echt top!
Ich werde mir das Ganze zu Gemüte führen,
gruss
Chris
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Hallo nochmal,
kleiner Zusatz:
die obige Umformung mit dem Ausklammern ist natürlich nur für [mm] $a-b\neq [/mm] 0$, also für [mm] $a\neq [/mm] b$ erlaubt, sonst würde man ja durch 0 teilen.
Für [mm] $a=b\neq [/mm] 0$ ergibt sich aber in der Ausgangsgleichung $-ax-a=0$, also $x=-1$
Das ist auch eine der Lösungen, die du mit der p/q-Formel für den "Rest" erhältst ...
Für $a=b=0$ erhältst du sogar unendlich viele Lösungen, denn dann lautet die Ausgangsgleichung $0=0$, was offensichtlich für jedes x wahr ist
Daher vermute ich, dass es einen Zusatz in der Aufgabe wie [mm] $a\neq [/mm] b$ oder ähnlich gibt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, schachzipus,
> kleiner Zusatz:
>
> die obige Umformung mit dem Ausklammern ist natürlich nur
> für [mm]a-b\neq 0[/mm], also für [mm]a\neq b[/mm] erlaubt, sonst würde man ja
> durch 0 teilen.
>
> Für [mm]a=b\neq 0[/mm] ergibt sich aber in der Ausgangsgleichung
> [mm]-ax-a=0[/mm], also [mm]x=-1[/mm]
>
> Das ist auch eine der Lösungen, die du mit der p/q-Formel
> für den "Rest" erhältst ...
>
> Für [mm]a=b=0[/mm] erhältst du sogar unendlich viele Lösungen, denn
> dann lautet die Ausgangsgleichung [mm]0=0[/mm], was offensichtlich
> für jedes x wahr ist
>
> Daher vermute ich, dass es einen Zusatz in der Aufgabe wie
> [mm]a\neq b[/mm] oder ähnlich gibt
Gut, dass Du dran gedacht hast! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Solche "Kleinigkeiten"(??) vergessen auch die Lehrbuchautoren
in zunehmendem Maße, was sehr ärgerlich ist!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
Wundert mich bei dem Buch nicht, da sind x-welche Lösungen falsch, trotz der 4.Auflage...
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Hi Chris,
auch von mir natürlich herzlich Willkommen!
Ich bin mir zwar sicher, dass du mit der Antwort von schachuzipus bestens bedient bist, würde aber trozdem ganz gern noch meinen Ansatz hinzufügen. Vielleicht hilft es ja letztlich doch ein wenig 
> [mm](a-b)x^{2} -bx -a =0 [/mm]
> Bestimme die Lösungsmenge (Lösung im Buch [mm]
> \bruch{a}{a-b};[/mm] [mm]-1[/mm])
>
> Zudem sind offenbar 2 Lösungen gefragt, riecht also nach
> VIETA. Da scheitert es aber (mal von der fehlenden
> Potenzstufen) daran, dass es ja alles Parameter sind.
> Denke ich zu weit oder zuwenig weit?;o)
>
Ich würde versuchen mich ein wenig von dem Gedanken, dass du es mit Parametern zu tun hast, lösen. Wenn du das ganze so behandelst, wie du es sonst mit Zahlen gewohnt bist und das Ganze sorgfältig durchgehst, kommst du auf dem selben Weg zum ergebnis.
[mm] f(x) = (a-b)x^{2} -bx -a [/mm]
[mm] f(x) = 0 [/mm]
[mm] 0 = (a-b)x^{2}-bx -a [/mm]
Da sich die Funktion in der allg. Form
[mm] f(x) = ax^{2} + bx + c [/mm]
darstellen lässt, schlage ich ebenfalls die [mm] p/q [/mm] Formel vor
$ [mm] x_{1/2}= \bruch{-b \pm \wurzel{b^2 -4ac}}{2a} [/mm] $
Ich mach das, der eigenen Ordnung wegen dann immer so, dass ich mir die gegebenen Werte notier, in diesem Fall also:
$a = (a-b); b = -b; c= -a$
Das Ganze in die Formel eingesetzt ...
$ [mm] x_{1/2}= \bruch{-(-b) \pm \wurzel{(-b)^2 -4(a-b)(-a)}}{2(a-b)} [/mm] $
$ [mm] x_{1/2}= \bruch{b \pm \wurzel{b^2 -4(-a^2+ab)}}{2(a-b)} [/mm] $
$ [mm] x_{1/2}= \bruch{b \pm \wurzel{b^2 +4a^2+ 4ab}}{2(a-b)} [/mm] $
$ [mm] x_{1/2}= \bruch{b \pm \wurzel{4a^2+ 4ab + b^2}}{2(a-b)} [/mm] $
Ich denke, jetzt weisst du was zu tun ist
Wie gesagt, schachuzipus' Antwort ist sicher sofort ersichtlich und vermutlich sogar schneller zu lösen.
Ich hoffe trozdem, dass es irgendwie hilft. Wer weiss
Grüße,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 So 05.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
| Aufgabe | | Überprüfung der Lösungsmenge |
Danke euch allen. Allerdings habe ich [mm] \IL=\{1;\bruch{a}{a-b}\} [/mm] gerechnet und nicht [mm] \IL=\{-1;\bruch{a}{a-b}\} [/mm] wie im Buch als Lösung angegeben. Das Problem ist nun: Das Buch ist betreffend der Lösungen nicht wirklich verlässlich, könnte das bitte jemand nachrechnen?
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Hallo Chris,
> Überprüfung der Lösungsmenge
> Danke euch allen. Allerdings habe ich
> [mm]\IL=\{1;\bruch{a}{a-b}\}[/mm] gerechnet und nicht
> [mm]\IL=\{-1;\bruch{a}{a-b}\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wie im Buch als Lösung angegeben.
> Das Problem ist nun: Das Buch ist betreffend der Lösungen
> nicht wirklich verlässlich, könnte das bitte jemand
> nachrechnen?
Wie kommst du auf die 1?
Mit der p/q-Formel kommst du genau auf die beiden Lösungen im Buch.
Du hast nach dem ganzen Auflösen von $\frac{b}{2(a-b)}\pm\sqrt{\frac{b^2+a\cdot{}\blue{4(a-b)}}{4(a-b)^2}$:
$x_{1,2}=\frac{b}{2(a-b)}\pm\sqrt{\frac{b^2+4a^2-4ab}{4(a-b)^2}}=\frac{b}{2(a-b)}\pm\sqrt{\frac{b^2-2b(2a)+(2a)^2}{4(a-b)^2}}=\frac{b}{2(a-b)}\pm\sqrt{\frac{(b-2a)^2}{4(a-b)^2}}=\frac{b\pm (b-2a)}{2(a-b)}$
Also $x_1=\frac{b\red{+}b-2a}{2(a-b)}=\frac{2(b-a)}{2(a-b)}=\frac{-2(a-b)}{2(a-b)}=-1$ oder $x_2=\frac{b\red{-}(b-2a)}{2(a-b)}=\frac{2a}{2(a-b)}=\frac{a}{a-b}$
Ich vermute, du hast für $x_1$ das Minuszeichen irgendwo unterwegs "verschlabbert"
LG
schachuzipus
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