Lösungsmenge angeben? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 17.01.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Hi Leute!
Wie bestimme ich von dieser Matrix die Lösungsmenge?
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_4
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_4
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_3 [/mm] = 0 |
Ich kann jetzt davon einfach die Lösungsmenge nicht angeben! Könnt ihr mir Schritt für Schritt helfen?
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Hallo bandchef,
> Hi Leute!
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> Wie bestimme ich von dieser Matrix die Lösungsmenge?
>
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> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_4[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_2[/mm] = [mm]-\lambda_4[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_3[/mm] = 0
Nun, der Parameter [mm]\lambda_4[/mm] ist frei wählbar.
Setzt man [mm]\lambda_{4}=t[/mm], so ergibt sich:
[mm]\lambda_1 = \lambda_4=t[/mm]
[mm]\lambda_2 = -\lambda_4=-t[/mm]
[mm]\lambda_3 = 0[/mm]
[mm]\lambda_4 = t[/mm]
Daraus ergibt sich der Lösungsvektor
[mm]\lambda=\pmat{\lamba_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4}}=\pmat{t \\ -t \\ 0 \\t}=t*\pmat{1 \\ -1 \\ 0 \\1}, \ t \in \IR[/mm]
> Ich kann jetzt davon einfach die Lösungsmenge nicht
> angeben! Könnt ihr mir Schritt für Schritt helfen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 17.01.2011 | | Autor: | bandchef |
NOch eine Frage:
Wieviel freie Variablen hat diese oben (gelöste) gezeigte lin. Gls.? Da sind doch zwei freie Variablen, oder?
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Hallo bandchef,
> NOch eine Frage:
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> Wieviel freie Variablen hat diese oben (gelöste) gezeigte
> lin. Gls.? Da sind doch zwei freie Variablen, oder?
Nein, es gibt nur eine freie Variable.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 19.01.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Ich hab nun folgendes schon berechnetes Gls.:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Von diesem Gls. möchte ich nun wieder die Lösungsmenge angeben. |
Ich forme ja nun das Gls wieder um in:
[mm] x_1 [/mm] = 100 + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 100 - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = 60 - [mm] x_5
[/mm]
Jetzt setze ich [mm] x_5=t [/mm] da ja dass die freie Variable ist.
das sieht dann nun so aus:
[mm] x_1 [/mm] = 100 + [mm] x_3 [/mm] + t
[mm] x_2 [/mm] = 100 - [mm] x_3 [/mm] + t
[mm] x_4 [/mm] = 60 - t
Das bedeutet mein (voräufiger) Lösungsvektor sieht dann so aus:
[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \\ \\ \\ \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
Aber wie mache ich nun weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab nun folgendes schon berechnetes Gls.:
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> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Von diesem Gls. möchte ich nun wieder die Lösungsmenge
> angeben.
>
>
> Ich forme ja nun das Gls wieder um in:
>
> [mm]x_1[/mm] = 100 + [mm]x_3[/mm] + [mm]x_5[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = 100 - [mm]x_3[/mm] + [mm]x_5[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = 60 - [mm]x_5[/mm]
>
> Jetzt setze ich [mm]x_5=t[/mm] da ja dass die freie Variable ist.
Setze [mm] s=x_3, [/mm] das ist ebenfalls eine freie Var.
FReD
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>
> das sieht dann nun so aus:
>
> [mm]x_1[/mm] = 100 + [mm]x_3[/mm] + t
> [mm]x_2[/mm] = 100 - [mm]x_3[/mm] + t
> [mm]x_4[/mm] = 60 - t
>
>
>
> Das bedeutet mein (voräufiger) Lösungsvektor sieht dann
> so aus:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \\ \\ \\ \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> Aber wie mache ich nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mi 19.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Meine Lösungsmenge sieht nun so aus:
[mm] \mathbb [/mm] L = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 0 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \vert \right\}
[/mm]
Jetzt muss ich aber doch noch ausgeben aus welchem "Raum" s und t stammt oder? Wie mach ich das?
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Hallo bandchef,
> Meine Lösungsmenge sieht nun so aus:
>
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> [mm]\mathbb[/mm] L = [mm]\left\{ \begin{pmatrix} 100 \\
100 \\
0 \\
60 \\
0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \red{-1} \\
1 \\
0 \\
-1 \\
1 \end{pmatrix} \vert \right\}[/mm]
Da sollte [mm] $\red{+1}$ [/mm] stehen
>
> Jetzt muss ich aber doch noch ausgeben aus welchem "Raum" s
> und t stammt oder? Wie mach ich das?
Nun, ich nehme an, du solltest das LGS über dem Körper der reellen Zahlen betrachten.
Also [mm]\IL=\vektor{100\\
100\\
0\\
60\\
0}+\left\{s\cdot{}\vektor{1\\
-1\\
1\\
0\\
0}+t\cdot{}\vektor{1\\
1\\
0\\
-1\\
1} \ \mid \ s,t\in\IR\right\}[/mm]
Falls [mm]s,t[/mm] aus einem anderen Körper [mm]\IK[/mm] sein sollen, so schreibe entsprechend [mm]s,t\in\IK[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 19.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, wieso aber steht dann in meiner Musterlösung eine -1? Ich komm ja auch drauf... Hast du das Gls. mit einer Software berechnen lassen und meine Musterlösung vom Prof. ist falsch?
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Hallo,
> Hm, wieso aber steht dann in meiner Musterlösung eine -1?
> Ich komm ja auch drauf... Hast du das Gls. mit einer
> Software berechnen lassen
Nein, ich ging von deiner "Umformung" (in deiner 3.Frage) aus:
[mm] $x_1=100+x_3+x_5$
[/mm]
Die ist aber doch nicht ganz richtig (Verschreiber nehme ich an, der sich durchzieht), es muss heißen [mm] $x_1=100+x_3\red{-}x_5$
[/mm]
Womit deine Lösung und die Musterlösung mit der [mm] $\red{-1}$ [/mm] dann auch richtig ist !
> meine Musterlösung vom Prof.
> ist falsch?
Nein, alles bestens, ich hatte mich von deinem Verschreiber irritieren lassen.
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
beachte bitte in Zukunft die Forenregeln und gib an, wenn Du dieselbe Frage auch noch in anderen Foren postest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mo 17.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Werde ich bechten, versprochen!
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