Lösungsmenge LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Sa 21.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Lösungsmenge folgendes LGS:
2x − y + z = 2
3x + 2y + 2z = −2
x − 2y + z = 1
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Was muss man direkt bei LGS beachten?
Ich habe immer bisher verschiedene Ergebnisse rausbekommen wenn ich das LGS in Stufenform bringe. Dabei stimmt das Ergebniss dann selbstverständlich nie für alle 3 Gleichungen.
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Hallo zocca21,
> Lösungsmenge folgendes LGS:
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> 2x − y + z = 2
> 3x + 2y + 2z = −2
> x − 2y + z = 1
>
> Was muss man direkt bei LGS beachten?
Nichts besonderes, du kannst es "normal" heunterrechnen ...
> Ich habe immer bisher verschiedene Ergebnisse rausbekommen
> wenn ich das LGS in Stufenform bringe. Dabei stimmt das
> Ergebniss dann selbstverständlich nie für alle 3
> Gleichungen.
Dann solltest du mal deine Rechnung posten, damit wir seheh können, wo es hakt.
Ich habe es mal auf die Schnelle in Matrixschreibweise gerechnet, also die Matrix
[mm] $\pmat{2&-1&1&\mid&2\\3&2&2&\mid&-2\\1&-2&1&\mid&1}$ [/mm] auf Zeilenstufenform gebracht.
Es ergab sich eind. Lösbarkeit mit ganzzahligen Lösungen für die [mm] $x_i$.
[/mm]
Also zeige mal deine Rechnungen her, dann schauen wir drüber ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 21.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
[mm] \pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & - 2 & + 1 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 1 }
[/mm]
Ich weiß, die Darstellung ist nicht korrekt, aber hab es anders gerade nich gebacken bekommen.
Nun habe ich I.Zeile mit 1 multipliziert und die III. Zeile mit (-1) und berechnet.
[mm] \pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 1 }
[/mm]
Nun die I.Zeile mit (1) multipliziert, die III.Zeile ebenso mit (1) multipliziert..
[mm] \pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 0 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 3 }
[/mm]
So hätte ich x=1
Aber schon hier fällt mir auf, dass X nicht gleich 1 sein kann...dann wäre ja laut meiner III.Zeile in Matrix 2...y=0. Wobei ich nun nicht eine Lösung erhalte..
Mir fällt schon auf, dass x= 2 sein muss...aber nur durch probieren.
Wie kann ich bei solchen LGS sicher vorgehen?
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Hallo zocca21,
> [mm]\pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & - 2 & + 1 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 1 }[/mm]
>
> Ich weiß, die Darstellung ist nicht korrekt, aber hab es
> anders gerade nich gebacken bekommen.
>
> Nun habe ich I.Zeile mit 1 multipliziert und die III. Zeile
> mit (-1) und berechnet.
>
> [mm]\pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 1 }[/mm]
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> Nun die I.Zeile mit (1) multipliziert, die III.Zeile ebenso
> mit (1) multipliziert..
>
> [mm]\pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 0 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 3 }[/mm]
>
> So hätte ich x=1
>
> Aber schon hier fällt mir auf, dass X nicht gleich 1 sein
> kann...dann wäre ja laut meiner III.Zeile in Matrix
> 2...y=0. Wobei ich nun nicht eine Lösung erhalte..
>
> Mir fällt schon auf, dass x= 2 sein muss...aber nur durch
> probieren.
> Wie kann ich bei solchen LGS sicher vorgehen?
>
Betrachten wir diese Matrix
[mm]\pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 }\vmat{ 2 \\ - 2 \\ 1 }[/mm]
Sorge zunächst dafür, daß in der 2 Zeile,
3. Spalte ebenfalls eine 0 steht.
Das ergibt dann:
[mm]\pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ ... & ... & 0 \\ 1 & 1 & 0 }\vmat{ 2 \\ ... \\ 1 }[/mm]
Jetzt ist noch die 2. und 3. Zeile zu bearbeiten.
Eliminiere auch hier so, daß dann da steht:
[mm]\pmat{ 2 & - 1 & 1 \\ ... & ... & 0 \\ ... & 0 & 0 }\vmat{ 2 \\ ... \\ ... }[/mm]
Dann kannst Du die Lösung durch Rückwärtseinsetzen bestimmen.
Oder Du sorgst dafür, daß Du eine Matrix der Gestalt
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\vmat{ ... \\ ... \\ ... }[/mm]
erhältst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 21.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Danke habe es nun so gelöst:
x= 2 , y=-1, z=3..sollte stimmen.
Kann ich bei jedem LGS so vorgehen?
Also dass ich es in eine Stufenform bringe, so dass unten noch x steht..dann x,y und oben die x,y,z Gleichung?
Oder wieso funktioniert hier der Weg über x?
Danke
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Hallo zocca21,
> Danke habe es nun so gelöst:
> x= 2 , y=-1, z=3..sollte stimmen.
Stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Kann ich bei jedem LGS so vorgehen?
Ja, sicher.
>
> Also dass ich es in eine Stufenform bringe, so dass unten
> noch x steht..dann x,y und oben die x,y,z Gleichung?
>
> Oder wieso funktioniert hier der Weg über x?
>
> Danke
Gruss
MathePower
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