Lösungsmenge LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 24.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
Hallo
bitte schaut mal kurz drüber, ob meine Lösungsmenge zu folgendem LGS stimmt:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} * \vektor{x_{1} \\x_{2}\\x_{3}}= \vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm]
ergibt ja
[mm]x_{1}-x_{3}=-1[/mm]
[mm]x_{2}=1[/mm]
die Lösungsmenge müsste dann sein:
[mm]L={\lambda*\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}},\lambda \in \IR[/mm]
ist das soweit richtig?
Wie kann man - ohne den Dimensionssatz zu verwenden - aus dieser Lösungsmenge die Dimension des Kerns ablesen?
Das verwirrt mich gerade noch ein bisschen....
vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 24.04.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
zunächst kannst du ganz beruhigt sein, die Lösungsmenge ist richtig bestimmt.
Wie sieht diese Menge in Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] aus?
Es ist eine Parameterform einer Geraden!
Welchen Grad hat eine Gerade? (Anleihe aus der Analysis: dieser ist 1)
Das entspricht aus der Darstellung der Lösungsmenge der Anzahl der "freien" Parameter.
Oder schaue dir den Stützvektor der Gerade und den Lösungsvektor im LGS zu Beginn an! Diese sind identisch.
Der Kern wird gebildet von denjenigen Elementen, die durch die Abbildung (Matrix) auf die Null abgebildet werden. In der Gleichung zum Start mußt du nur [mm] \vektor{-1\\1\\0} [/mm] abziehen, welche Wirkung hat es bei der Lösungsmenge?! Weiter möglich ersetzte [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] durch die allgemeine Lösungsmenge und subtrahiere [mm] \vektor{-1\\1\\0}.
[/mm]
Eine Gerade durch den Ursprung, das ist die Charakteristik des Kerns, dieser ist dann (siehe oben) von der Dimension 1.
Stimmt auch mit der Dimensionsformel überein.
Diese letzten Ausführungen sind nicht ganz mathematisch korrekt, aber zur Veranschaulichung sollte diese kleine Abweichung doch erlaubt sein.
Falls etwas unklar ist bitte fragen.
Ron
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