Lösungsansatz zu Dgl-Systeme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | ich habe eine frage zur folgenden Lösungsansatz.
Zur konkreten Lösung der Differentialgleichung y'=Ay, A [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] unterscheidet man vier Fälle:
Fall 1: A hat komplexe Eigenwerte [mm] \lambda_{1/2}=\alpha+-i*\beta, [/mm] sei [mm] v=u+iw\in \IC^2 [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda_1= \alpha+i\beta
[/mm]
Dann kann man als unabhängige Basislösungen
[mm] y_1(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*u-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*w [/mm] und
[mm] y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*w-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*u
[/mm]
nehmen, damit ist [mm] y=c_1*y_1+c_2+Y_" [/mm] für [mm] c_1; c_2 \in \IR [/mm] die allgemeine Lösung.
Was sind u und w bei den Basislösungen? ich verstehe das nicht ganz mit " sei [mm] v=u+iw\in \IC^2 [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda_1= \alpha+i\beta"
[/mm]
ich bitte um erklärung |
die frage steht oben
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt,
> ich habe eine frage zur folgenden Lösungsansatz.
>
>
>
> Zur konkreten Lösung der Differentialgleichung y'=Ay, A
> [mm]\in \IR^{2x2}[/mm] unterscheidet man vier Fälle:
>
> Fall 1: A hat komplexe Eigenwerte
> [mm]\lambda_{1/2}=\alpha+-i*\beta,[/mm] sei [mm]v=u+iw\in \IC^2[/mm]
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_1= \alpha+i\beta[/mm]
>
> Dann kann man als unabhängige Basislösungen
>
> [mm]y_1(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*u-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*w[/mm]
> und
>
> [mm]y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*w-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*u[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*w\blue{+}e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*u[/mm]
> nehmen, damit ist [mm]y=c_1*y_1+c_2+Y_"[/mm] für [mm]c_1; c_2 \in \IR[/mm]
> die allgemeine Lösung.
>
>
> Was sind u und w bei den Basislösungen? ich verstehe das
> nicht ganz mit " sei [mm]v=u+iw\in \IC^2[/mm] Eigenvektor zu
> [mm]\lambda_1= \alpha+i\beta"[/mm]
>
[mm]u+i*w, \ u,w \in \IR[/mm] ist der Eigenvektor
zum Eigenwert [mm]\alpha+i*\beta, \ \alpha.\beta \in \IR[/mm]
Somit erfüllt der Eigenvektor die Gleichung
[mm]A\left(u+i*w\right)=\left(\alpha+i*\beta\right)*\left(u+i*w\right)[/mm]
> ich bitte um erklärung
>
> die frage steht oben
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei $v [mm] \in \IC^2$ [/mm] ein Eigenvektor vgon $A$ zum Eigenwert [mm] \lambda_1.
[/mm]
Zerlege $v$ komponentenweise in Real- und Imaginärteil:
$ v=u+iw$ mit $u [mm] \in \IR^2$ [/mm] und $w [mm] \in \IR^2$ [/mm] .
FRED
|
|
|
|
