Lösungen komplexer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde alle Lösungen der folgenden Gleichung:
[mm] ln(z^2-1)=\bruch{\pi*i}{2} [/mm] |
Hallo :)
ich glaube hier bin ich auf dem richtigen Weg :)
[mm] z=r*e^{i\phi}
[/mm]
[mm] ln(z)=ln(r)+\phi*i
[/mm]
[mm] ln(z^2)=ln(r^2)+2*i*\phi
[/mm]
[mm] ln(z-1)=ln(r^2*e^2*i*\phi-1)
[/mm]
[mm] \bruch{ln(z^2-1)}{\bruch{\pi*i}{2}}=-\bruch{2}{\pi}*i*ln(r^2*e^{2i\phi}-1)
[/mm]
[mm] -\bruch{2}{\pi}*i*ln(r^2*e^{2i\phi}-1)=0
[/mm]
[mm] r=\pm\wurzel{2}e^{-i\phi}
[/mm]
was denk ihr dazu?
sind meine Ideen richtig?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe und liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] ln(z^2-1)=\bruch{\pi\cdot{}i}{2} \gdw z^2-1 [/mm] = [mm] e^{\bruch{\pi\cdot{}i}{2} }= [/mm] i$
Hilft das ?
FRED
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Hallo :)
Danke für deine Hilfe :)
[mm] z^2-1=i
[/mm]
dann habe ich für [mm] z=\pm \wurzel{i}+1
[/mm]
ist das die lösung?
Vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :)
>
> Danke für deine Hilfe :)
>
> [mm]z^2-1=i[/mm]
>
> dann habe ich für [mm]z=\pm \wurzel{i}+1[/mm]
>
> ist das die lösung?
Nein. Das ist falsch. Wie kommst Du darauf ?
FRED
>
> Vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
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Hallo :)
ich dachte weil das gilt:
$ [mm] ln(z^2-1)=\bruch{\pi\cdot{}i}{2} \gdw z^2-1 [/mm] = [mm] e^{\bruch{\pi\cdot{}i}{2} }= [/mm] i $
vielleicht muss ich auch ln(i-1) rechnen aber dann habe ich kein z mehr. ich bin verwirrt...
war meine erste Idee total falsch?
Liebe Grüße und vielen lieben Dank für deine Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich dachte weil das gilt:
> [mm]ln(z^2-1)=\bruch{\pi\cdot{}i}{2} \gdw z^2-1 = e^{\bruch{\pi\cdot{}i}{2} }= i[/mm]
>
> vielleicht muss ich auch ln(i-1) rechnen aber dann habe ich
> kein z mehr. ich bin verwirrt...
>
> war meine erste Idee total falsch?
Nein, ncith total falsch, aber wie kommst du auf dein Ergebnis [mm] z=\pm \sqrt{i} -1 [/mm] ?
Wenn ich das quadriere und 1 abziehe:
[mm]z^2-1 = (\pm \sqrt{i} -1 )^2-1 = i +1 \mp 2 \sqrt{i} - 1 \not = i [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Hilfe :)
also gibt es keine Lösung für z die diese Gleichung erfüllt?
Liebe Grüße und vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer,
>
> vielen Dank für Deine Hilfe :)
>
> also gibt es keine Lösung für z die diese Gleichung
> erfüllt?
Doch ! Die Gl. [mm] $z^2= [/mm] 1+i$ hat genau 2 Lösungen!
Für eine Lösung z machen wir den Ansatz : $z=a+ib$ mit a,b [mm] \in \IR
[/mm]
Dann ist [mm] $z^2 [/mm] = [mm] a^2-b^2+2iab [/mm] = 1+i$, also
[mm] $a^2-b^2 [/mm] = 1$ und $2ab = 1$
Außerdem kannst Du noch verwenden:
[mm] $a^2+b^2 [/mm] = [mm] |z|^2 [/mm] = |1+i|= [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
So, nun bestimme mal a und b und damit z.
FRED
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
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Hallo,
vielen Dank für Deine Hilfe :)
Ich habe
[mm] a=\pm\bruch{\wurzel{\wurzel{2}-1}(\wurzel{2}+2)}{2}
[/mm]
[mm] b=\pm\bruch{\wurzel{2*(\wurzel{2}-1)}}{2}
[/mm]
[mm] z=\pm\bruch{\wurzel{\wurzel{2}-1}(\wurzel{2}+2)}{2}+\pm\bruch{\wurzel{2*(\wurzel{2}-1)}}{2}*i
[/mm]
Habe ich richtig gerechnet?
Vielen Dank für Deine Hilfe :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wurzeln aus komplexen Zahlen rechnet man besser mit der Moivre Darstellung
[mm] 1+i=\wurzel{2}±e^{i*(\pi/4+n*2\pi)}
[/mm]
und dann die Wurzel ziehen. ich hab keine Lust , das Nachzurechnen mit a und b. was sicher falsch ist, dass du 4 Werte hast.
Gruss leduart
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