Lösungen in C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mo 10.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | 2. Gleichung:
[mm] z^3+(-3+2i)z^2+(3-6i)z+3+4i=0 [/mm] |
Hallo,
hier soll man auch die Lösungen berechnen.
Zu erst habe ich Real- und Imaginärteil getrennt:
[mm] =>z^3-3z^2+3z=0
[/mm]
[mm] =>2iz^2-6iz+4i=0 [/mm] => Diese hier in die p,q-Formel eingesetzt und als Lösung 2 und 1 erhalten.
Jetzt wollte ich überprüfen, ob 2 und 1 auch Lösungen von dem Realteil sind, aber diese sind es nicht.
Was soll mir das jetzt sagen?
Heißt das jetzt, dass ich die 2 bzw. 1 jetzt einfach in [mm] z^3+(-3+2i)z^2+(3-6i)z+3+4i=0 [/mm] einsetzen kann und dann 2 Lösungen habe?
Lg und danke.
|
|
| |
|
Moment mal - Denkfehler!
Du hast gerade angenommen: [mm] z\in\IR
[/mm]
Dein Ergebnis zeigt Dir, dass das zu einem Widerspruch führt; die Gleichungen für den Imaginär- und für den Realteil sind so nicht gleichzeitig lösbar.
Nimm also (wie sicher auch in der Aufgabenstellung gedacht) [mm] z\in\IC [/mm] an, also z=a+bi
Dann ist
[mm] z^2=(a^2-b^2)+2abi
[/mm]
[mm] z^3=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i
[/mm]
So bekommst Du zwei Gleichungen für a,b - leider keine linearen. Schau mal, ob Du die Cardanischen Formeln für reduzierte Gleichungen dritten Grades überhaupt brauchst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Di 11.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
ok, also soll [mm] 2iz^2-6iz+4i=0 [/mm] in die Form [mm] z^2=(a^2-b^2)+2abi [/mm] gebracht werden?
und das selbe mit [mm] z^3?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du sollst die ausdruecke fuer [mm] z^3, z^2,z [/mm] direkt in die Ausgangsgleichung einsetzen. und ales ausmultipl.
erst dann kannst du in Realteil und Imaginaerteil trennen.
das ist aber alles ne Menge Arbeit!
Gibts irgend einen zusaetzlichen Hinweis zu der Aufgabe? oder vielleicht hilft die aufgabe davor?
ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr einfach Gl. dritten Grades loesen sollt?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Di 11.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Ok, aber in meiner Ausgangsgleichung sind ja schon [mm] z^3, z^2, [/mm] z.
Aus einer ähnlichen Aufgaben sollten wir eben direkt in Real- und Imaginärteil trennen, von dem einen die Nullstellen berechnen. Davon war eine Nullstelle in der Gleichung von [mm] z^3.
[/mm]
Und mit Hilfe von Polynomdivision hat man dann auch hier irgendwie eine Lösung erhalten.
Lg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
aber du musst doch z , [mm] z^2 [/mm] und [mm] z^3 [/mm] erst Realteil und imaginaerteil bestimmen!
Realteil etwa von z*(2+i) ist NICHT z*i sondern mit z=x+iy
(x+iy)*(1+2i)=x+2y +2ix+iy also Realteil:x+2y Imaginaerteil 2x+y
[mm] z^3 [/mm] hat dir Luis schon realteil und Imaginaerteil aufgeschrieben, ebenso von [mm] z^2, [/mm] da stehen aber noch faktoren dabei, die musst du erst ausmultiplizieren. erst ganz am Schluss kannst du dann alle Glieder ohne i zusammenfassen, und bei allen mit i i ausklammern dann hast du erst Realteil und Imaginaerteil deiner Gleichung.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:07 Di 11.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Ok, die Tips waren sehr hilfreich.
Der Realteil sähe dann so aus:
[mm] 3x+6y-3x^2+3y^2-4xy+x^3-3xy^2+3
[/mm]
Und der Imaginärteil:
[mm] (-6x+3y)i+(2x^2-2y^2-6xy)i+(3x^2y-y)i+4i
[/mm]
Nur, wie löst man das ganze nun? Gibts da auch vielleicht einen Trick?
Lg.
|
|
|
| |
|
Hallo nina1,
gut so. Nur ein kleiner Fehler, wahrscheinlich beim Abschreiben, im Imaginärteil, letzte Klammer muss [mm] y^3 [/mm] stehen:
[mm] (-6x+3y)i+(2x^2-2y^2-6xy)i+(3x^2y-y^3)i+4i [/mm]
Außerdem kannst Du jetzt das i auslassen.
Dann hast Du zwei Gleichungen in Nullform, die jeweils eine Beziehung von x und y ausdrücken.
Leider sind die gar nicht gut aufzulösen. Du kannst Dich eigentlich nur darauf verlassen, dass es sich ja um eine Übungsaufgabe handelt und das Ergebnis wahrscheinlich einfach strukturiert ist.
Dann könnte man z.B. folgende Dinge durchprobieren:
1) x=y [mm] \to [/mm] führt zu [mm] x_{1/2}=\bruch{1}{10}(3\pm\wurzel{79})
[/mm]
Das sieht schon nicht gut aus, die Probe geht auch nicht auf. Annahme falsch.
2) x=1 [mm] \to [/mm] Realteil lösbar, y=2. Probe Imaginärteil geht nicht auf. Annahme falsch.
3) y=1 [mm] \to [/mm] Imaginärteil lösbar, [mm] x_{1/2}=6\pm4\wurzel{2}. [/mm] Probe Realteil geht nicht auf. Annahme falsch.
usw. usw.
Irgendwann kommst Du dazu, x=0 zu versuchen.
Da ist der Realteil leicht nach y aufzulösen, y=-1
Probe Imaginärteil geht auf!
Also ist eine Lösung z=0+(-1)i=-i
Es gibt aber möglicherweise noch zwei. Weißt Du, wie Du die findest, wenn Du eine Lösung hast?
|
|
|
|
