Lösungen für LGS berechnen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS
[mm] \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 2 & 12 & 7 \\ 1 & 10 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_\text{1} \\ x_\text{2} \\ x_\text{3} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7s \\ 7t+8s \end{pmatrix}
[/mm]
in Abhängigkeit von s,t [mm] \in \IR. [/mm] |
Also lautet das Gleichungssystem:
[mm]2x_\text{1} + 4x_\text{2} + 2x_\text{3} = 12t[/mm]
[mm]2x_\text{1} + 12x_\text{2} + 7x_\text{3} = 12t+7s[/mm]
[mm] x_\text{1} + 10x_\text{2} + 6x_\text{3} = 7t+8s[/mm]
Umformen mit Gauß:
[mm] \begin{vmatrix}
2 & 4 & 2\\
2 & 12 & 7\\
1 & 10 & 6
\end{vmatrix} \begin{matrix}
12t\\
12t+7s\\
7t+8s
\end{matrix}
[/mm]
führt zu:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 8 & 5\\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} \begin{matrix}
6t\\
7s\\
t+s
\end{matrix}
[/mm]
Dann habe ich mein neues LGS:
[mm]x_\text{1} + 2x_\text{2} + x_\text{3} = 6t[/mm]
[mm]8x_\text{2} + 5x_\text{3} = 7s[/mm]
[mm]0 = t+s[/mm]
Somit habe ich ein unterbestimmtes Gleichungssystem, also 3 Unbekannte in 2 Gleichungen. Wie gehe ich hier vor?
Gruß Myth
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Myth,
> Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS
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> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 2 & 12 & 7 \\ 1 & 10 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_\text{1} \\ x_\text{2} \\ x_\text{3} \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7s \\ 7t+8s \end{pmatrix}[/mm]
>
> in Abhängigkeit von s,t [mm]\in \IR.[/mm]
> Also lautet das
> Gleichungssystem:
>
> [mm]2x_\text{1} + 4x_\text{2} + 2x_\text{3} = 12t[/mm]
>
> [mm]2x_\text{1} + 12x_\text{2} + 7x_\text{3} = 12t+7s[/mm]
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> [mm]x_\text{1} + 10x_\text{2} + 6x_\text{3} = 7t+8s[/mm]
>
> Umformen mit Gauß:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
2 & 4 & 2\\
2 & 12 & 7\\
1 & 10 & 6
\end{vmatrix} \begin{matrix}
12t\\
12t+7s\\
7t+8s
\end{matrix}[/mm]
>
> führt zu:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 8 & 5\\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} \begin{matrix}
6t\\
7s\\
t+s
\end{matrix}[/mm]
>
> Dann habe ich mein neues LGS:
>
> [mm]x_\text{1} + 2x_\text{2} + x_\text{3} = 6t[/mm]
> [mm]8x_\text{2} + 5x_\text{3} = 7s[/mm]
>
> [mm]0 = t+s[/mm]
>
> Somit habe ich ein unterbestimmtes Gleichungssystem, also 3
> Unbekannte in 2 Gleichungen. Wie gehe ich hier vor?
>
Zunächst ist die 3. Gleichung zu lösen.
Setze dies dann in die ersten beiden Gleichungen ein.
Eine Variable kannst Du freiwählen.
Forme dann nach nach übriggebliebenen Variablen um.
> Gruß Myth
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, dann löse ich die III nach [mm] x_\text{3} [/mm] und die II nach [mm] x_\text{2} [/mm] auf:
[mm] x_\text{3} [/mm] = [mm] \frac{7t+8s-x_\text{1}-10x_\text{2}}{6}
[/mm]
[mm] x_\text{2} [/mm] = [mm] \frac{23t-14s-5x_\text{1}}{2}
[/mm]
[mm] x_\text{2} [/mm] in [mm] x_\text{3} [/mm] eingesetzt:
[mm] x_\text{3} [/mm] = [mm] 13s-18t+4x_\text{1}
[/mm]
Wenn ich jetzt beides in [mm] x_\text{1} [/mm] einsetze, bekomme ich [mm]s+t = 0[/mm], oder muss ich vorher für [mm] x_\text{1} [/mm] einfach irgendeinen Wert (z.B. 5) aussuchen?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> Ok, dann löse ich die III nach [mm]x_\text{3}[/mm] und die II nach
> [mm]x_\text{2}[/mm] auf:
>
> [mm]x_\text{3}[/mm] = [mm]\frac{7t+8s-x_\text{1}-10x_\text{2}}{6}[/mm]
> [mm]x_\text{2}[/mm] = [mm]\frac{23t-14s-5x_\text{1}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_\text{2}[/mm] in [mm]x_\text{3}[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]x_\text{3}[/mm] = [mm]13s-18t+4x_\text{1}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt beides in [mm]x_\text{1}[/mm] einsetze, bekomme ich
> [mm]s+t = 0[/mm], oder muss ich vorher für [mm]x_\text{1}[/mm] einfach
> irgendeinen Wert (z.B. 5) aussuchen?
>
Jetzt mußt Du s bzw. t so wählen, daß s+t=0 ist.
Dann erhältst Du auch die endgültige Lösung.
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
Kann ich dann wählen s=2, t=-2 oder muss ich dass allgemein machen ( s=s und t=-s), denn wenn ich für s und t konkrete Werte einsetze, ist doch die endgültige Lösung nicht mehr abhängig von s und t, wie es in der Aufgabe verlangt ist?!
Also mit s=2 und t=-2 wäre es:
[mm] x_\text{2} [/mm] = [mm] -37-\frac{5}{2}x_\text{1}
[/mm]
[mm] x_\text{3} [/mm] = [mm] 62+4x_\text{1}
[/mm]
Gruß Myth
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Hallo, du hattest doch
(1) [mm] x_1+2x_2+x_3=6t
[/mm]
(2) [mm] 8x_2+5x_3=7s
[/mm]
(3) 0=t+s
aus (3) folgt
t=-s
[mm] x_3=p [/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist
aus (2) folgt
[mm] 8x_2+5p=7s
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p
[/mm]
aus (1) folgt
[mm] x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{5}{4}p+p=6t
[/mm]
[mm] x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{1}{4}p=-6s
[/mm]
[mm] x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
> Hallo, du hattest doch
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> (1) [mm]x_1+2x_2+x_3=6t[/mm]
> (2) [mm]8x_2+5x_3=7s[/mm]
> (3) 0=t+s
>
> aus (3) folgt
> t=-s
>
> [mm]x_3=p[/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist
>
> aus (2) folgt
> [mm]8x_2+5p=7s[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
>
> aus (1) folgt
> [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{5}{4}p+p=6t[/mm]
>
> [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{1}{4}p=-6s[/mm]
>
> [mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
>
> Steffi
>
Ah vielen Dank, jetzt hab ich das mit dem frei wählbaren Parameter verstanden, hatten wir so in der Vorlesung nicht gemacht. Dann sind
[mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
[mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
[mm]x_3=p[/mm]
ALLE Lösungen mit p [mm] \in \IR, [/mm] nehm ich an?!
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> > Hallo, du hattest doch
> >
> > (1) [mm]x_1+2x_2+x_3=6t[/mm]
> > (2) [mm]8x_2+5x_3=7s[/mm]
> > (3) 0=t+s
> >
> > aus (3) folgt
> > t=-s
> >
> > [mm]x_3=p[/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist
> >
> > aus (2) folgt
> > [mm]8x_2+5p=7s[/mm]
> > [mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
> >
> > aus (1) folgt
> > [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{5}{4}p+p=6t[/mm]
> >
> > [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{1}{4}p=-6s[/mm]
> >
> > [mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
> >
> > Steffi
> >
>
> Ah vielen Dank, jetzt hab ich das mit dem frei wählbaren
> Parameter verstanden, hatten wir so in der Vorlesung nicht
> gemacht. Dann sind
>
> [mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
> [mm]x_3=p[/mm]
>
> ALLE Lösungen mit p [mm]\in \IR,[/mm] nehm ich an?!
>
Ja, und natürlich mit [mm]s \in \IR[/mm].
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
Alles klar, nochmals vielen Dank an MathePower und Steffi für die schnelle Hilfe!!!
Gruß Myth
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