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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 30.03.2009 | | Autor: | matze3 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
3sinx-5cosx=4 |
Guten Abend.
Kann mir jemand einen kleinen Hinweis geben?
Die Aufgabe haben wir schon im Unterricht gerechnet. Ist eigentlich auch kein Problem, nur eine Stelle kann ich nicht nachvollziehen.
Lösung:
3sinx-5cosx=4
[mm] \pm3\wurzel{1-cos²x}-5cosx=4
[/mm]
[mm] \pm3\wurzel{1-cos²x}=4+5cosx
[/mm]
9(1-cos²x)=(4+5cosx)²
9-9cos²x=16+40cosx+25cos²x ...woher kommt +40cosx her?
...
mfg Matze
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> Ermitteln Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
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> 3sinx-5cosx=4
> Guten Abend.
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> Kann mir jemand einen kleinen Hinweis geben?
> Die Aufgabe haben wir schon im Unterricht gerechnet. Ist
> eigentlich auch kein Problem, nur eine Stelle kann ich
> nicht nachvollziehen.
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> Lösung:
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> 3sinx-5cosx=4
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> [mm]\pm3\wurzel{1-cos²x}-5cosx=4[/mm]
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> [mm]\pm3\wurzel{1-cos²x}=4+5cosx[/mm]
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> 9(1-cos²x)=(4+5cosx)²
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> 9-9cos²x=16+40cosx+25cos²x ...woher kommt +40cosx
> her?
Hallo,
na, wenn das alles ist, dann ist's nicht so schwer: man hat für [mm] (\underbrace{4}_{a}+\underbrace{5\cos x}_{b})^2 [/mm] die 1.binomische Formel verwendet:
[mm] (4+5cosx)²=4^2 +2*4*5\cos [/mm] x + [mm] (5\cos x)^2=16+40\cos [/mm] x+25cos²x
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Di 31.03.2009 | | Autor: | matze3 |
Servus.
Ich habe ein Problem am Lösungsende.
3sinx-5cosx=4
[mm] \pm3\wurzel{1-cos²x}-5cosx=4
[/mm]
[mm] \pm3\wurzel{1-cos²x}=4+5cos
[/mm]
9(1-cos²x)=(4+5cosx)²
9-9cos²x=16+40cosx+25cos²x
34cos²x+40cosx+7=0
[mm] (cosx)_{1,2}=\bruch{-40\pm\wurzel{40²-4*34*7}}{2*34}
[/mm]
(cosx)=-0,2139 Probe: [mm] x_{1}=1,7864+k*2\pi [/mm] ...wie komme ich auf [mm] x_{1}=1,7864+k*2\pi?
[/mm]
...
Vielleicht kann mir jemand einen Hinweis geben.
mfg Matze
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(cosx)=-0,2139 damit du an das x kannst, wendest du den arrcos an.
arcos(cos(x)) wäre x für x [mm] \in [0;\pi] [/mm] richtig. da du aber keine begrenzung hast wendet man die für alle x geltende Formel
cos(x) = a [mm] \gdw [/mm] x= [mm] \pm arccos(a)+k2\pi [/mm] für a [mm] \in [/mm] [-1;1]
[mm] \pm [/mm] weil der cosinus achsensymmetrisch ist, und
[mm] +k2\pi [/mm] wegen der Periodizität
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