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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 17.06.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichung an:
[mm] 2^x^+^1+4^2^x=3*0,25^x [/mm] |
Die Funktion ist doch eine Exponentialfunktion oder ?
Naja jedenfalls kenn ich mich mit logarithmen "noch" gar nicht aus, weshalb ich versucht hab die Gleichung anderweitig zu lösen?!
Laut Rechenregeln kann man folgendes auch so schreiben:
[mm] 2^x^+^1 [/mm] = [mm] 2^x*2^1
[/mm]
[mm] 4^2^x=(4^2)^x
[/mm]
Dann habe ich eingesetzt:
[mm] 2^x*2^1+(4^2)^x=3*0,25^x
[/mm]
[mm] \bruch{2^x*2^1}{0,25^x}+\bruch{(4^2)^x}{0,25^x}=3
[/mm]
dann kann ich doch den exponenten wegkürzen oder?
also
[mm] \bruch{4}{0,25}+\bruch{16}{0,25}=3
[/mm]
Jetzt ist nur leider das x weggefalen weswegen wahrscheinlich ein anderer Lösungsweg nötig ist, ausserdem hätte ich so ja wie man sehen kann auch nicht das x runterbekommen.
Aber um den Logarithmus anzuwenden muss ich doch überall die gleiche Basis stehen haben oder?
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> Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichung an:
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> [mm]2^x^+^1+4^2^x=3*0,25^x[/mm]
> Die Funktion ist doch eine Exponentialfunktion oder ?
Nein, es ist nicht einmal eine Funktion sondern .. eine Gleichung, genauer: eine Exponentialgleichung (weil die Unbekannte nur im Exponenten vorkommt).
> Naja jedenfalls kenn ich mich mit logarithmen "noch" gar
> nicht aus, weshalb ich versucht hab die Gleichung
> anderweitig zu lösen?!
>
> Laut Rechenregeln kann man folgendes auch so schreiben:
> [mm]2^x^+^1[/mm] = [mm]2^x*2^1[/mm]
> [mm]4^2^x=(4^2)^x[/mm]
>
> Dann habe ich eingesetzt:
>
> [mm]2^x*2^1+(4^2)^x=3*0,25^x[/mm]
>
> [mm]\bruch{2^x*2^1}{0,25^x}+\bruch{(4^2)^x}{0,25^x}=3[/mm]
Hmm, das scheint noch richtig.
>
> dann kann ich doch den exponenten wegkürzen oder?
Bei einem Bruch kannst Du nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner wegkürzen, weil dies den Wert des Bruches nicht verändert. Aber von einem "Exponenten wegkürzendürfen" kann keine Rede sein...
>
> also
> [mm]\bruch{4}{0,25}+\bruch{16}{0,25}=3[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Jetzt ist nur leider das x weggefalen
Schlimmt genug, aber schlimmer noch: die obige Gleichung ist immer falsch, weil die linke Seite gleich $80$ ist.
> weswegen
> wahrscheinlich ein anderer Lösungsweg nötig ist,
Wahrscheinlich, in der Tat.
> ausserdem
> hätte ich so ja wie man sehen kann auch nicht das x
> runterbekommen.
>
> Aber um den Logarithmus anzuwenden muss ich doch überall
> die gleiche Basis stehen haben oder?
Dies ist eine sehr gute erste Idee. Dann fällt Dir vielleicht auf, dass Du alle Basen in, sagen wir, Potenzen von $2$ umschreiben kannst. [mm] $4=2^2$ [/mm] und [mm] $0.25=2^{-2}$. [/mm] Damit erhält man:
[mm]\begin{array}{lcll}
2^{x+1}+(2^2)^{2x} &=& 3\left(2^{-2}\right)^x\\
2\cdot 2^x+2^{4x} &=& 3\cdot 2^{-2x} &\Big| \cdot 2^{2x}\\
2\cdot 2^{3x}+2^{6x} &=& 3 &\Big| -3\\
\left(2^{3x}\right)^2+2\cdot \left(2^{3x}\right)-3 &=& 0 &\Big| u := 2^{3x}\\
u^2+2u-3 &=& 0
\end{array}[/mm]
Diese letzte Gleichung ist eine quadratische Gleichung für den Wert von [mm] $u=2^{3x}$. [/mm] Mit den beiden Lösungen [mm] $u_1=-3$ [/mm] und [mm] $u_2=1$. $2^{3x}=-3$ [/mm] ist (für [mm] $x\in \IR$) [/mm] nicht möglich, bleibt also nur [mm] $2^{3x}=1$, [/mm] das heisst (meinetwegen nach beidseitiger Anwendung von [mm] $\log_2$): [/mm] $3x=0$, also $x=0$. Somit scheint $x=0$ die einzige Lösung dieser Exponentialgleichung zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 17.06.2008 | | Autor: | tedd |
hey Somebody
vielen dank für die ausführliche Antwort! :)
Gruß,
tedd
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