Lösungen Differenzialgleichug < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 24.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Wenn man eine Differenzialgleichung wie z.b.
y'(t)=0.5y(t)
hat, dann lautet die allgemeine Lösung hier [mm] y(t)=c*\exp(0.5t) c\in\IR
[/mm]
Die Lösung wird erst eindeutig, wenn man die Konstante c eindeutig festlegt mit z.b. y(-2)=0.5.
Meine Frage ist aber nun, wie man hier auf die allgemeine Lösung [mm] y(t)=c*\exp(0.5t) [/mm] kommt?
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo,
>
> Wenn man eine Differenzialgleichung wie z.b.
>
> y'(t)=0.5y(t)
>
> hat, dann lautet die allgemeine Lösung hier
> [mm]y(t)=c*\exp(0.5t) c\in\IR[/mm]
> Die Lösung wird erst
> eindeutig, wenn man die Konstante c eindeutig festlegt mit
> z.b. y(-2)=0.5.
>
> Meine Frage ist aber nun, wie man hier auf die allgemeine
> Lösung [mm]y(t)=c*\exp(0.5t)[/mm] kommt?
Die Lösung erhält man über die Lösungsmethode "Trennung der Variablen".
Dabei geht man wie folgt vor:
Zuerst schreibt man die Gleichung wie folgt:
[mm] \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}y
[/mm]
Nun kommt alles mit y auf die eine und alles mit x auf die andere Seite. Man rechnet also mit den Differenzialen wild umher (was eigentlich nicht korrekt ist, denn [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] ist streng genommen ein Symbol und kein Bruch)
Also ergitb sich dann:
[mm] \frac{dy}{y}=\frac{1}{2}dx
[/mm]
man schreibt das Integralzeichen davor und berechnet dann das Integral.
[mm] \integral\frac{dy}{y}=\integral\frac{1}{2}dx
[/mm]
[mm] ln(|y|)+c_1=\frac{1}{2}x+c_2
[/mm]
Setze [mm] c=c_2-c_1 [/mm] und forme nach y um (mit e^)
[mm] y=exp(\frac{1}{2}x+c)=exp(c)*exp(\frac{1}{2}x)=C*e^{\frac{1}{2}x}
[/mm]
Und schon hat man das Ergebnis.
Das jetzt wirklich mal haargenau erklärt.
Ich hoffe damit ist die Frage beantwortet.
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 24.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> > Hallo,
> >
> > Wenn man eine Differenzialgleichung wie z.b.
> >
> > y'(t)=0.5y(t)
> >
> > hat, dann lautet die allgemeine Lösung hier
> > [mm]y(t)=c*\exp(0.5t) c\in\IR[/mm]
> > Die Lösung wird erst
> > eindeutig, wenn man die Konstante c eindeutig festlegt mit
> > z.b. y(-2)=0.5.
> >
> > Meine Frage ist aber nun, wie man hier auf die allgemeine
> > Lösung [mm]y(t)=c*\exp(0.5t)[/mm] kommt?
>
> Die Lösung erhält man über die Lösungsmethode "Trennung
> der Variablen".
>
> Dabei geht man wie folgt vor:
> Zuerst schreibt man die Gleichung wie folgt:
> [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}y[/mm]
>
> Nun kommt alles mit y auf die eine und alles mit x auf die
> andere Seite. Man rechnet also mit den Differenzialen wild
> umher (was eigentlich nicht korrekt ist, denn [mm]\frac{dy}{dx}[/mm]
> ist streng genommen ein Symbol und kein Bruch)
>
> Also ergitb sich dann:
> [mm]\frac{dy}{y}=\frac{1}{2}dx[/mm]
>
> man schreibt das Integralzeichen davor und berechnet dann
> das Integral.
> [mm]\integral\frac{dy}{y}=\integral\frac{1}{2}dx[/mm]
> [mm]ln(|y|)+c_1=\frac{1}{2}x+c_2[/mm]
>
> Setze [mm]c=c_2-c_1[/mm] und forme nach y um (mit e^)
>
> [mm]y=exp(\frac{1}{2}x+c)=exp(c)*exp(\frac{1}{2}x)=C*e^{\frac{1}{2}x}[/mm]
...... wo ist |y| geblieben ... ?
..... und es sind nur positive C zugelassen ..... !
Was nun ?
FRED
>
> Und schon hat man das Ergebnis.
> Das jetzt wirklich mal haargenau erklärt.
>
> Ich hoffe damit ist die Frage beantwortet.
>
> Liebe Grüße!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Di 24.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Niemals ürde ich eine lineare homogene DGL 1. Ordnung mit TDV lösen !
Machen wirs allgemein:
DGL: (*) y'=a(x)y, mit a:I [mm] \to \IR [/mm] stetig, I ein intervall.
Sei A eine Stammfunktion von a auf I.
1. Rechne nach, dass [mm] y(x):=ce^{A(x)} [/mm] (c [mm] \in \IR) [/mm] eine Lösung von (*) auf I ist.
2. Sei y eine Lösung von (*) auf I. Setze [mm] g(x):=\bruch{y(x)}{e^{A(x)}} [/mm] für x in I.
Zeige: g'(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] I. Damit ist g auf I konstant und somit ist
[mm] y(x)=ce^{A(x)} [/mm] mit einem geeigneten c [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen Fred,
> Niemals ürde ich eine lineare homogene DGL 1. Ordnung mit
> TDV lösen !
Das sage ich mal meinem Mathe-Prof :)
(Übrigens: exponentieller Zerfall/Wachstum wurde in der Vorlesung mit TdV gerechnet.)
>
>
> Machen wirs allgemein:
>
> DGL: (*) y'=a(x)y, mit a:I [mm]\to \IR[/mm] stetig, I ein
> intervall.
>
> Sei A eine Stammfunktion von a auf I.
>
> 1. Rechne nach, dass [mm]y(x):=ce^{A(x)}[/mm] (c [mm]\in \IR)[/mm] eine
> Lösung von (*) auf I ist.
Setzt das denn nicht die Lösung schon voraus? War nicht aber die Frage, wie man auf solch eine allgemeine Lösung kommt?
>
> 2. Sei y eine Lösung von (*) auf I. Setze
> [mm]g(x):=\bruch{y(x)}{e^{A(x)}}[/mm] für x in I.
>
> Zeige: g'(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] I. Damit ist g auf I
> konstant und somit ist
>
> [mm]y(x)=ce^{A(x)}[/mm] mit einem geeigneten c [mm]\in \IR.[/mm]
>
> FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Fred,
>
> > Niemals ürde ich eine lineare homogene DGL 1. Ordnung mit
> > TDV lösen !
> Das sage ich mal meinem Mathe-Prof :)
> (Übrigens: exponentieller Zerfall/Wachstum wurde in der
> Vorlesung mit TdV gerechnet.)
Hallo Richie,
ja, sags Deinem Prof.
Die Haudrauf- Holzhammermethode TDV funktioniert unter folgenden Vor. :
Seien I und J Intervalle in [mm] \IR, [/mm] f sei stetig auf I und g sei stetig auf J. Weiter sei g(y) [mm] \ne [/mm] 0 für alle y [mm] \in [/mm] J (das ist das Salz in der Suppe).
Wir betrachten die DGL (*) y'=f(x)g(y).
Unter diesen Vor. erhält man die allgemeine Lösung von (*), indem man die Gl.
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{dy}{g(y)}}= \integral_{}^{}{f(x) dx}+C$
[/mm]
nach y auflöst.
Da g auf J keine Nullstellen hat ist entweder g>0 auf J oder g<0 auf J.
Ist nun G eine Stammfunktion auf J von 1/g, so ist G'>0 auf J oder G'<0 auf J. G ist also streng monoton und besitzt daher auf G(J) eine Umkehrfunktion
Wenn Du Dir den Beweis für die Methode TDV anschaust, so wirst Du feststellen, dass man mit einer Stammfunktion F von f auf I definiert:
[mm] y(x)=G^{-1}(Fx)) [/mm]
(Einzelheiten spare ich mir)
Dann ist G(y(x))=F(x). Differentiation liefert:
G'(y(x))y'(x)=F'(x),
also
[mm] \bruch{1}{g(y(x))}y'(x)=f(x)
[/mm]
oder
y'(x)=g(y(x))f(x).
Obiges y löst also die DGL (*).
Du siehst: entscheidend ist, dass g auf J keine Nullstellen hat.
Zurück zur homogenen lin. DGL 1. Ordnung y'(x)=a(x)y.
Hier ist g(y) = y . Hat dieses g Nullstellen ? Natürlich !
Mit TDV bekommst Du das Anfangswertproblem
y'(x)=a(x)y(x) , [mm] y(x_0)=0
[/mm]
nie gelöst ! Welche Lösung hat dieses AWP ?
Gruß FRED
> >
> >
> > Machen wirs allgemein:
> >
> > DGL: (*) y'=a(x)y, mit a:I [mm]\to \IR[/mm] stetig, I ein
> > intervall.
> >
> > Sei A eine Stammfunktion von a auf I.
> >
> > 1. Rechne nach, dass [mm]y(x):=ce^{A(x)}[/mm] (c [mm]\in \IR)[/mm] eine
> > Lösung von (*) auf I ist.
> Setzt das denn nicht die Lösung schon voraus? War nicht
> aber die Frage, wie man auf solch eine allgemeine Lösung
> kommt?
> >
> > 2. Sei y eine Lösung von (*) auf I. Setze
> > [mm]g(x):=\bruch{y(x)}{e^{A(x)}}[/mm] für x in I.
> >
> > Zeige: g'(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] I. Damit ist g auf I
> > konstant und somit ist
> >
> > [mm]y(x)=ce^{A(x)}[/mm] mit einem geeigneten c [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 So 29.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
danke für die ausführlichen Erläuterungen.
Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass wir den Beweis für die TDV nie durchgenommen haben (=> Mathe eben nur als Nebenfach).
Ich sehe ein, dass die Nullstelle stört. Was wäre, wenn man generell von vornherein nur y(x)>0 für alle [mm] x\in [/mm] I zulässt?
Ich denke praktisch und gehe gerade bei diesem Anfangswertproblem von einem Wachstumsprozess in Flora und Fauna aus. Die Wachstumsgröße y(x) sollte also stets größer null sein.
Wäre das Verfahren dann zulässig?
/Mit TDV bekommst Du das Anfangswertproblem
/ y'(x)=a(x)y(x) , $ [mm] y(x_0)=0 [/mm] $
/nie gelöst ! Welche Lösung hat dieses AWP ?
Allgemein: [mm] y(x)=C*e^{A(x)}
[/mm]
Mit den AW müsste dann y(x)=0 sein, also im Grunde eine ziemlich triviale Lösung.
|
|
|
|
