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Hallo,
folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Gleichung
sin(x) = [mm] e^{-x} [/mm] genau eine Lösung [mm] x_0 \in [/mm] (0, [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] := I besitzt.
Hier mein Versuch:
(1) sin(x) ist in I monoton steigend [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] x_a, x_b \in [/mm] I mit [mm] x_a [/mm] < [mm] x_b [/mm] gilt: [mm] sin(x_a) \le sin(x_b)
[/mm]
(2) [mm] e^{-x} [/mm] ist inbesondere in I monoton fallend [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] x_a, x_b \in [/mm] I mit [mm] x_a [/mm] < [mm] x_b [/mm] gilt: [mm] e^{-x_a} \ge e^{-x_b}
[/mm]
Und nun "hänge" ich... hat jemand ein Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Di 29.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> folgende Aufgabe:
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> Zeigen Sie, dass die Gleichung
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> sin(x) = [mm]e^{-x}[/mm] genau eine Lösung [mm]x_0 \in[/mm] (0,
> [mm]\frac{\pi}{2})[/mm] := I besitzt.
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> Hier mein Versuch:
>
> (1) sin(x) ist in I monoton steigend [mm]\gdw[/mm] für alle [mm]x_a, x_b \in[/mm]
> I mit [mm]x_a[/mm] < [mm]x_b[/mm] gilt: [mm]sin(x_a) \le sin(x_b)[/mm]
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> (2) [mm]e^{-x}[/mm] ist inbesondere in I monoton fallend [mm]\gdw[/mm] für
> alle [mm]x_a, x_b \in[/mm] I mit [mm]x_a[/mm] < [mm]x_b[/mm] gilt: [mm]e^{-x_a} \ge e^{-x_b}[/mm]
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> Und nun "hänge" ich... hat jemand ein Tipp?
ja, Deine Gleichung ist äquivalent zu der Aufgabe:
Zeige, dass die Funktion [mm] $f(x)=\sin(x)-e^{-x}$ [/mm] genau eine Nullstelle im Intervall [mm] $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] hat.
(Du kannst auch [mm] $g(x):\equiv [/mm] -f(x)$ dort betrachten, das ist ja egal.)
Und dann kannst Du leicht mittels der Ableitung argumentieren, dass $f$ in diesem Intervall streng monoton wachsend ist.
(Das kannst übrigens auch, wenn Du das Wort "streng" bei Dir oben einbaust und [mm] $\le$ [/mm] bzw. [mm] $\ge$ [/mm] durch $<$ bzw. $>$ an den passenden Stellen ersetzt, auch leicht mit Deinen Überlegungen oben zeigen.)
Weiterhin ist $f$ stetig (Warum?) und es gibt in diesem Intervall ein [mm] $x_1$ [/mm] mit [mm] $f(x_1) [/mm] < 0$ und ein [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $f(x_2) [/mm] > 0$ (entweder begründest Du deren Existenz, oder Du gibst konkret zwei von Dir ausgewählte an). Nach dem Zwischenwertsatz existiert dann (mindestens) eine Nullstelle in dem Intervall, wegen der strengen Monotonie in diesem Intervall ist $f$ insbesondere injektiv in diesem Intervall, es gibt also auch höchstens eine Nullstelle in diesem Intervall.
Gruß,
Marcel
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