Lösung von LGS mit Gauss < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrix A = [mm] \pmat{ 5 & 5 & 8 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1} [/mm] und eine Vektor [mm] b=\vektor{1 \\ 2 \\ a}.
[/mm]
Es gilt: A [mm] \cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b}
[/mm]
Bestimmen Sie alle möglichen Lösungsvektoren [mm] \vec{x} [/mm] in Anhängigkeit von a. |
An dieser Stelle möchte ich den Fehler in meinem Lösungsweg finden. Ich vermute, dass ich eine Bedigung übersehen habe bzw. etwas unerlaubtes bei der Umformung mache. Den Rechenweg habe ich jedenfalls mehrfach geprüft.
Folgendes ist zu tun: Ich stelle eine Gauss-Matrix der Form (A | b) auf.
[mm] \pmat{ 5 & 5 & 8 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 2\\ 1 & 1 & 1 & a}
[/mm]
(Ich bitte den fehlenden Trennstrich zu entschuldigen, aber ich hab den Befehl für die Darstellung (A | v) nicht gefunden).
nun wird umgeformt (I=I-5*III; II=II-3*III):
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1-5a \\ 0 & 0 & 1 & 2-3a \\ 1 & 1 & 1 & a}
[/mm]
Daraus folgt für [mm] x_{3}: [/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 2-3a [mm] \vee x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1-5a}{3}
[/mm]
Berechnen von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}:
[/mm]
Da [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] nur in der untersten Gleichung verwendet werden, sind diese wahlfrei und müssen nur der letzten Gleichung der Matrix genügen:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = a
Ersetzen von [mm] x_{3} [/mm] durch 2-3a (s. oben) ergibt:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + 2-3a = a
[mm] \gdw x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 4a-2 = (2a-1)+(2a-1)
[mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = 2a-1 [mm] \wedge x_{2} [/mm] = 2a-1
also ist [mm] \vec{x}= \vektor{2a-1 \\ 2a-1 \\ 2-3a}
[/mm]
Wenn ich das jetzt für die obige Gleichung einsetze erhalte ich:
[mm] \pmat{ 5 & 5 & 8 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{2a-1 \\ 2a-1 \\ 2-3a} [/mm] = [mm] \vektor{5*(2a-1) +5*(2a-1) + 8*(2-3a) \\ 3*(2a-1) +3*(2a-1) + 4*(2-3a) \\ 1*(2a-1) + 1*(2a-1) + 1*(2-3a)} [/mm] = [mm] \vektor{6-4a \\ 2 \\ a}
[/mm]
es sollte aber [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ a} [/mm] rauskommen. Irgendwas ist mit meinem [mm] x_{1} [/mm] nicht in Ordnung. Sieht jamand den Fehlen? Schonmal Dank für eure Hilfe!
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Hey!!
> Gegeben sei eine Matrix A = [mm]\pmat{ 5 & 5 & 8 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
> und eine Vektor [mm]b=\vektor{1 \\ 2 \\ a}.[/mm]
> Es gilt: A [mm]\cdot \vec{x}[/mm]
> = [mm]\vec{b}[/mm]
> Bestimmen Sie alle möglichen Lösungsvektoren [mm]\vec{x}[/mm] in
> Anhängigkeit von a.
> An dieser Stelle möchte ich den Fehler in meinem
> Lösungsweg finden. Ich vermute, dass ich eine Bedigung
> übersehen habe bzw. etwas unerlaubtes bei der Umformung
> mache. Den Rechenweg habe ich jedenfalls mehrfach geprüft.
>
> Folgendes ist zu tun: Ich stelle eine Gauss-Matrix der Form
> (A | b) auf.
> [mm]\pmat{ 5 & 5 & 8 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 2\\ 1 & 1 & 1 & a}[/mm]
>
> (Ich bitte den fehlenden Trennstrich zu entschuldigen, aber
> ich hab den Befehl für die Darstellung (A | v) nicht
> gefunden).
>
> nun wird umgeformt (I=I-5*III; II=II-3*III):
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1-5a \\ 0 & 0 & 1 & 2-3a \\ 1 & 1 & 1 & a}[/mm]
>
In der ersten Zeile hast du eine 1 statt der 3 geschrieben. Das ist aber nur flüchtigkeit gewesen, dann unten hast du ja mit der 3 gerechnet.
> Daraus folgt für [mm]x_{3}:[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = 2-3a [mm]\vee x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1-5a}{3}[/mm]
>
Warum "oder"? [mm] x_3 [/mm] muss doch in die erste und zweite Gleichung passen. D.h. [mm] x_3 [/mm] = 2-3a = [mm] \bruch{1-5a}{3}
[/mm]
Daraus kannst du schonmal a errechnen. Das LGS ist nur für ein bestimmtes a lösbar.
> Berechnen von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}:[/mm]
>
> Da [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] nur in der untersten Gleichung verwendet
> werden, sind diese wahlfrei und müssen nur der letzten
> Gleichung der Matrix genügen:
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = a
>
> Ersetzen von [mm]x_{3}[/mm] durch 2-3a (s. oben) ergibt:
Warum 2-3a, warum nicht das andere Ergebnis? Wie du siehst kann es daher nicht stimmen wie du es oben geschrieben hast. Also errechne zuerst a.
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + 2-3a = a
> [mm]\gdw x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 4a-2 = (2a-1)+(2a-1)
> [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] = 2a-1 [mm]\wedge x_{2}[/mm] = 2a-1
[mm] x_1 [/mm] muss doch nicht gliech [mm] x_2 [/mm] sein. Ich kann mit doch auch aussuchen, das [mm] x_2=0 [/mm] ist. Dann erhalte ich trotzdem eine Lösung für [mm] x_1. [/mm]
Wenn du mehr Variablen hast als Gleichungen, dann solltest du hier z.B. [mm] x_1 [/mm] durch [mm] x_2 [/mm] ausdrücken. Setze [mm] x_2:=t, [/mm] dann erhälst du eine Lösung in Abhängigkeit von t.
> also ist [mm]\vec{x}= \vektor{2a-1 \\ 2a-1 \\ 2-3a}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt für die obige Gleichung einsetze erhalte
> ich:
> [mm]\pmat{ 5 & 5 & 8 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1}[/mm] * [mm]\vektor{2a-1 \\ 2a-1 \\ 2-3a}[/mm]
> = [mm]\vektor{5*(2a-1) +5*(2a-1) + 8*(2-3a) \\ 3*(2a-1) +3*(2a-1) + 4*(2-3a) \\ 1*(2a-1) + 1*(2a-1) + 1*(2-3a)}[/mm]
> = [mm]\vektor{6-4a \\ 2 \\ a}[/mm]
>
> es sollte aber [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ a}[/mm] rauskommen. Irgendwas
> ist mit meinem [mm]x_{1}[/mm] nicht in Ordnung. Sieht jamand den
> Fehlen? Schonmal Dank für eure Hilfe!
Gruß Patrick
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Hallo und danke für deine Antwort. Da stand ich wohl auf dem Schlauch, selbstverständlich muss a beide Gleichungen erfüllen. Hab es jetzt so gemacht:
Ich setze die beiden Bedingungen in denen a vorkommt gleich und errechne dadurch ein a, dass für beide Bedingungen gilt:
[mm] \bruch{1-5a}{3} [/mm] = 2-3a [mm] \gdw [/mm] a = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
Mit diesem a berechne ich mein [mm] x_{3} [/mm] lt der mittleren Matrixzeile:
[mm] x_{3} [/mm] = 2-3a = - [mm] \bruch{7}{4}
[/mm]
Wir nehmen die letzte Zeile der Matrix her
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = a
und setzen die errechneten Werte ein:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] \bruch{7}{4} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
daraus erhalten wir die Gleichung [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 3 d.h. dass [mm] x_{1} [/mm] bzw. [mm] x_{2} [/mm] wahlfrei sind, solange gilt [mm] x_{2} [/mm] = 3 - [mm] x_{1} [/mm] bzw. [mm] x_{1} [/mm] = 3 - [mm] x_{2}
[/mm]
Mein Lösungsvektor lautet also: [mm] \vektor{x_{1} \\ 3 - x_{1} \\ - \bruch{7}{4}}
[/mm]
Habe ich diese Aufgabe richtig gelöst oder fehlt noch etwas? Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.
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Mahlzeit,
danke für deine Korrekturlesung.
Bei [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 3 ist eine Variable wahlfrei, weil nur für die letzte Zeile der Matrix [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] benötigt werden. Überall sonst in der Matrix steht eine 0 vor beiden Variablen, sodass wir nur eine Bedigung haben, die erfüllt sein muss. Somit haben wir haben hier das Privileg frei zu wählen, solange für unsere Gleichung [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 3 gilt.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
)
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.
