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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 So 24.11.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\Omega:=]0,\pi[\times ]0,\infty[$.
[/mm]
Mit der Fouriermethode der Separation habe ich die beschränkte formale Lösung der folgenden Randwert-Aufgabe bestimmt:
(i) [mm] $\Delta [/mm] u=0$ in [mm] $\Omega$
[/mm]
(ii) [mm] $u(0,y)=u(\pi,y)=0$ [/mm] für [mm] $y\geq [/mm] 0$
(iii) $u(x,0)=g(x)$ für [mm] $x\in [0,\pi]$,
[/mm]
wobei [mm] $g\in C^{0,\lambda}([0,\pi])$ [/mm] mit [mm] $0<\lambda\leq [/mm] 1$ und [mm] $g(0)=g(\pi)=0$.
[/mm]
Und zwar habe ich folgende beschränkte Lösung erhalten:
[mm] $u(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}g_k\exp(-ky)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(kx)$, [/mm] mit [mm] $g_k:=\int_0^{\pi}g(x)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(kx)\, [/mm] dx$.
Nun ist darüber hinaus noch zu zeigen, dass diese gefundene Lösung in
[mm] $C(\overline{\Omega})\cap C^{\infty}(\Omega)$
[/mm]
liegt. Wie kann man das machen?
Hierbei bezeichnet übrigens [mm] $C^{0,\lambda}([0,\pi])$ [/mm] den Raum der Hölder-stetigen Funktionen auf [mm] $[0,\pi]$. [/mm] |
Zunächstmal habe ich versucht zu zeigen, dass [mm] $u\in C(\overline{\Omega})$, [/mm] und zwar mittels Weierstraß-Kriterium:
D.h. mein Ziel ist es zu zeigen, dass
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}g_k\exp(-ky)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(kx)$
[/mm]
gleichmäßig konvergiert.
Für alle [mm] $0
[mm] $\lvert g_k\exp(-ky)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(kx)\rvert
da [mm] $\lvert g_k\rvert\leq\lvert\int_0^{\pi}\vert g(x)\rvert <\infty$, [/mm] weil $g$ Hölder-stetig auf [mm] $[0,\pi]$ [/mm] ist und daher integrierbar und daher integrierbar über [mm] $[0,\pi]$. [/mm] Außerdem gilt [mm] $\lvert\sin(kx)\rvert\leq [/mm] 1$.
Zudem ist [mm] $\lvert\exp(-ky)\rvert=\exp(-ky)$ [/mm] für alle [mm] $0
Es ist
$$
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\exp(-ky)<\infty.
[/mm]
$$
Also konvergiert die Reihe gleichmäßig (nach Weierstraß).
Da alle
[mm] $g_k\exp(-ky)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(kx)$
[/mm]
stetig auf [mm] $C(\overline{\Omega})$ [/mm] sind, ist $u$ dort stetig.
Erstens weiß ich aber nicht, ob man das so machen kann und zweitens fehlt mir jede Idee, wie ich dann noch zeigen könnte, dass auch [mm] $u\in C^{\infty}(\Omega)$.
[/mm]
Über Hilfe wäre ich dankbar!
Viele Grüße
mikexx
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 26.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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