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| Aufgabe | Gegeben sind die vier Punkte
[mm] $P_1=\vektor{1 \\ -2 \\ -12}, P_2=\vektor{ 2\\ -1 \\ -7}, P_3=\vektor{ 3\\ 1 \\ 1}, P_4=\vektor{7 \\ 2 \\ -16}$
[/mm]
Bestimmen Sie,
a) Eine Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte [mm] $P_1, P_2, P_3$ [/mm] in Parameterform und in Skalarform (Koordinatenform)
b) Den Abstand des Punktes [mm] P_4 [/mm] von der Ebene E
c) Eine Gleichung der Geraden g, die durch [mm] P_4 [/mm] verläuft und Senkrecht auf E steht |
Meine Rechnungen sind Folgende:
a)
$E: [mm] \vec{x}=\vektor{ 3 \\ 1 \\ 1 }+\lambda\cdot\vektor{ 1-3\\ -2-1 \\-12-1 }+\mu\cdot=\vektor{2-3 \\ -1-1 \\ -7-1}$
[/mm]
[mm] $\vec{x}=\vektor{ 3 \\ 1 \\ 1 }+\lambda\cdot\vektor{-2 \\ -3 \\ -13}+\mu\cdot\vektor{ -1\\ -2 \\ -8}$
[/mm]
normalenvektor aus den Richtungsvektoren von $E$ bestimmen:
[mm] $\vec{n}=\vektor{-2 \\ -3 \\ -13}\times\vektor{ -1\\ -2 \\ -8}=\vektor{-2 \\ -3 \\ 1}$
[/mm]
das $d$ für Die Skalarform bestimmen indem man einen Punkt der Ebene $E$ Skalar mit [mm] $\vec{n}$ [/mm] multipliziert. ich habe mich für Punkt [mm] $P_3$ [/mm] entschieden
[mm] $\vec{n}\cdot\vec{x}=\vektor{-2 \\ -3 \\ 1}\cdot\vektor{3 \\ 1 \\ 1}=-8$
[/mm]
Die Skalarform ergibt sich dann indem man die Komponenten des Normalenvektors nimmt und mit d in die Formel
$E: ax+by+cz-d=0$ einsetzt
ich habe dafür $E: -2x-3y+1z+8=0$ heraus.
b)
Um den Abstand zu bestimmen verwende ich die Formel,
[mm] $d=\frac{\left|\vec{n}\cdot\vec{x}-d\right|}{\left|\vec{n}\right|}$
[/mm]
[mm] $d=\frac{\left|-2\cdot7-3\cdot2+1\cdot(-16)+8\right|}{\sqrt{(-2^2)+(-3^2)+1^2}}=\frac{36}{\sqrt{14}}$
[/mm]
c) die Gerade g stelle ich auf indem ich [mm] $P_4$ [/mm] als Stützvektor (Aufpunkt) verwende und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ verwende.
$g: [mm] \vec{g}=\vektor{ 7 \\ 2 \\ -16}+\lambda\cdot\vektor{ -2\\ -3 \\ 1}$
[/mm]
Kommt ihr auf die selben Ergebnisse?
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Die Ebene stimmt.
Bei der Berechnung des Abstandes hast du im Nenner einen Schreibfehler: die Quadrate stehen falsch. Und im Zähler hast du einen kleinen Rechenfehler.
Die Gerade stimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:59 So 19.02.2012 | | Autor: | georg1982 |
Ja hab meinen Fehler gefunden, Der Abstand ist
[mm] $d_E=\frac{28}{\sqrt{14}}\$
[/mm]
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